§ 6.3. Аналітичне визначення головного вектора і головного моменту довільної просторової системи сил

Д ля обчислення головного вектора і головного моменту довільної просторової системи сил використаємо метод проекцій, для чого вибе­ремо декартову систему координат (рис.6.2).

Рис. 6.2

Проектуючи перше рівняння (6.1) на осі вибраної системи координат, знайдемо проекції головного вектора на осі:

(6.5)

З формул (6.5) випливає: проекція головного вектора сил на вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій усіх сил системи на цю вісь.

Модуль і напрям головного вектора

(6.6)

Проектуючи другу рівність (6.1) на осі координат, отримаємо

або

Отже, проекція головного моменту відносно центра на будь-яку вісь, що проходить через центр, дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил відносно цієї осі.

Алгебраїчна сума моментів усіх сил, прикладених до механічної системи, відносно будь-якої осі називається головним моментом системи сил відносно цієї осі. Головні моменти системи сил відносно координатних осей будемо позначати через . Тоді з формул (6.7) випливає, що

Модуль і напрям головного моменту

(6.8)

§ 6.4. Аналітичні умови рівноваги довільної просторової системи сил

Із векторних умов рівноваги (6.1) довільної просторової системи сил випливає, що модулі головного вектора і головного моменту повинні дорівнювати нулю, а на основі формул (6.6) і (6.8) це рівнознач­но шести алгебраїчним рівностям, які виражають умови рівноваги цієї системи сил в аналітичній формі:

(6.9)

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно й достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій усіх сил системи на три координатні осі та алгебраїчна сума їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю.

Зауважимо, що умови рівноваги (6.9) довільної просторової системи сил, прикладених до вільного твердого тіла, будуть необхідними, але не достатніми умовами рівноваги цього тіла.

Як буде показано в динаміці, вільне тверде тіло виконуючи умо­ви рівноваги (6.9), може рухатися поступально, прямолінійно і рів­номірно вздовж осей координат і одночасно рівномірно обертатися навколо цих осей.

Для того щоб умови рівноваги (6.9) довільної просторової систе­ми сил були одночасно й умовами рівноваги вільного твердого тіла, до якого ця система сил прикладена, потрібно, щоб до прикладання даної системи сил тіло перебувало в спокої відносно вибраної системи відліку.

§ 6.5. Аналітичні умови рівноваги часткових випадків систем сил

1. Просторова система паралельних сил

Якщо лінії дії всіх сил системи розміщені в різних площинах і паралельні між собою, то така система сил називається просторовою системою паралельних сил.

І з умов рівноваги (6.9) довільної просторової системи сил отримаємо умови рівноваги просторової системи паралельних сил.

Нехай на тверде тіло діє просторова система паралельних сил (рис. 6.3). Оскільки вибір координатних осей довільний, то можна вибрати координатні осі так, щоб вісь z була паралельна до сил. При такому виборі координатних осей проекції кожної із сил на осі х і у та їх моменти відносно осі z будуть дорівнювати нулю, тобто рів­ності перетворюються в то­тожності. Тому для системи паралель­них сил з (6.9) отримаємо тільки три умови рівноваги:

1 . 2. 3. (6.10)

Для рівноваги просторової системи паралельних сил необхідно й до­статньо, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь, паралель­ну до цих сил, і алгебраїчні суми їх моментів відносно двох інших осей дорівнювали нулю. Плоска система паралельних сил

Якщо всі сили системи паралельні осі Z і лежать у одній площині ZOY (рис 6.4) тоді сума їх моментів відносно осі OY дорівнюють нулю і рівняння рівноваги плоскої системи паралельних сил згідно ( мал. 6.10) мають вигляд

Для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно й достатньо щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь паралельну силам і алгебраїчна сума їх моментів відносно початку координат дорівнювала нулю