Практическая работа № 37 Вычисление определённого интеграла. Решение задач физического и геометрического содержания с помощью определённого интеграла

Цель: научиться вычислять определенные интегралы, применять понятие определенного интеграла для решения прикладных задач.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «КЭМТ».

Средства обучения:

• методические рекомендации к практической работе № 37.

Для выполнения задания необходимо:

знать:- понятиеопределённого интеграла;

- формулы интегрирования;

- приложения определённого интеграла.

уметь:- находить определённые интегралы методом непосредственного интегрирования, методом подстановки и методом интегрирования по частям;

- решать задачи, используя приложения определённого интеграла.

Рекомендации по выполнению заданий:

1. Повторите пройденный материал согласно требованиям к знаниям.

2. Прочтите краткую теоретическую справку.

3. Выполните с помощью преподавателя в случае необходимости практические задания для аудиторной работы, которые включают следующие виды работ:

• вычисление определенных интегралов методом непосредственного интегрирования;

• вычисление определенных интегралов методом подстановки;

• вычисление определенных интегралов методом интегрирования по частям;

• нахождение площади плоской фигуры, ограниченной линиями;

• решение физических задач с применением понятия определенного интеграла.

4. Выполните задания для самостоятельной работы в соответствии с вашим вариантом, пользуюсь алгоритмом выполнения аудиторных заданий.

5. Оформите отчёт о выполнении практической работы. Ответьте письменно на контрольные вопросы. Сделайте вывод.

6. Представьте отчёт о выполнении практической работы преподавателю на проверку.

Краткая теоретическая справка

Пусть функция F(х) является первообразной для функции f(х) на промежутке . Приращение любой из первообразных функций при изменении аргумента от до равно значению определенного интеграла .

. (1)

Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции S, ограниченной графиком функции y= f(х), осью х и прямымиx=aи x=b вычисляется по формуле:

. (2)

П ример1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) , , , .

Решение: Выполним построение фигуры, преобразовав уравнение прямой : , .

Строим прямую по двум точкам

(

Рис.1

4;0) и (4;0) (рис.2).

По формуле (2), где f(x) = -0,5х+2,

a=-3,b=2, находим

.

Ответ: 11,25 (кв.ед.).

2. Вычисление пути, пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном прямолинейном движении с переменной скоростью за промежуток времени от t₁ до t₂, вычисляется по формуле

. (3)

3. Вычисление работы силы.

Работа, произведенная переменной силойf(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от x=aдо x=b, находится по формуле:

. (4)

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:

, (5)

где - сила (Н), - абсолютное удлинение пружины (м), вызванное силой F, а - коэффициент пропорциональности (Н/м).

Практические заданиядля аудиторной работы

1. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

3. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

4. Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60 Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?

Практические заданиядлясамостоятельной работы

Вариант 1

1. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

3. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.

4. Под действием силы 80 Н пружина растягивается на 0,02м. Первоначальная длина пружины равна 0,15 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её до 0,2 м?

Вариант 2

1. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

3. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

4. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1м. Сила в 20 Н растягивает её на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её от 0,12 до 0,14 м?

Вариант 3

1. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

3. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.

4. При сжатии пружины на 0,05 м совершается работа 30 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,08 м?

Вариант 4

1. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?

4. Вычислить работу, совершенную при растяжении пружины на 0,05м, если для растяжения на 0,02 м необходима сила в 20 Н.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что называют определенным интегралом?

2. Перечислите свойства определенного интеграла.

3. Как найти определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница?

4. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

5. Как вычислить площадь плоских фигур?

6. Какая существует связь между скоростью и путем, прошедшим точкой?

7. Как найти работу переменной силы?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.

Список рекомендуемой литературы:

1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. Кн. 2. – М.: «Издательство Новая Волна», 2009.

2. Лекции по математическому анализу, теории функций комплексного переменного и специальным функциям. - [Электронный ресурс] Режим доступа:

http://www.dmarsentev.narod.ru/kamenev.htm.

3. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович.— М.: Мнемозина, 2009.

4. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс – М.: Просвещение, 2011.

5. http://uztest.ru – сайт подготовки к ЕГЭ.

6. http://ru.wikipedia.org – официальный сайт свободной энциклопедии Википедии.