3. Электронный журнал "Прикладная геометрия". - [Электронный ресурс]Режим доступа: http://www.Mai.Ru/homelinks/apg/index.Htm.
4. http://uztest.ru – сайт подготовки к ЕГЭ.
5. http://ru.wikipedia.org – официальный сайт свободной энциклопедии Википедии.
Практическая работа № 62 Разложение вектора в пространстве. Нахождение координат вектора в заданном базисе
Цель: научиться раскладывать вектор по трем заданным некомпланарным векторам, находить координаты вектора в заданном базисе.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «КЭМТ».
Средства обучения:
методические рекомендации к практической работе № 62.
Для выполнения задания необходимо:
знать:- определение базиса;
- какие векторы называются компланарными;
- признак компланарности трёх векторов.
уметь:- находить сумму и разность векторов;
- находить координаты вектора в заданном базисе.
Рекомендации по выполнению заданий:
1. Повторите пройденный материал согласно требованиям к знаниям.
2. Прочтите краткую теоретическую справку.
3. Выполните с помощью преподавателя в случае необходимости практические задания для аудиторной работы, которые включают следующие виды работ:
разложение вектора по трем некомпланарным векторам;
нахождение координат вектора в заданном базисе.
4. Выполните задания для самостоятельной работы в соответствии с вашим вариантом, пользуюсь алгоритмом выполнения аудиторных заданий.
5. Оформите отчёт о выполнении практической работы. Ответьте письменно на контрольные вопросы. Сделайте вывод.
6. Представьте отчёт о выполнении практической работы преподавателю на проверку.
Краткая теоретическая справка
Базис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов. Векторы, входящие в базис, должны быть некомпланарными.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
П
ризнак
компланарности трех векторов.
Если вектор
можно
разложить по векторам
и
,
т.е. представить в виде
,
где х
и у
— некоторые числа, то векторы
,
и
компланарны.
Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Если это относится к прямоугольным декартовым координатам, тогда соответствующий базис называется ортогональным.
Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.
Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.
В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).
Д
екартовы
координаты в трехмерном пространстве
(левая
(на рисунке слева) и правая
(справа) декартовы системы координат
(левый и правый базисы). Принято по
умолчанию использовать правые базисы
(это общепринятое соглашение, если
только какие-то особые причины не
заставляют от него отойти — и тогда
это оговаривается явно). Базисом,
соответствующим такой системе координат
является тройка векторов, каждый из
которых направлен вдоль какой-то из
осей (изображаются три базисных вектора
как правило исходящими из общего
начала).
Обозначение
векторов базиса может быть в принципе
произвольным. Часто используют
какую-нибудь букву с индексом (числовым
или совпадающим с названием координатной
оси), например:
или
-
типичные обозначения базиса двумерного
пространства (плоскости);
или - трехмерного пространства.
Для
трехмерного пространства часто по
традиции используется и обозначение
.
Представление
какого-то конкретного (любого) вектора
пространства
в виде линейной комбинации векторов
базиса (суммы базисных векторов числовыми
коэффициентами), например
называется
разложением этого вектора по этому
базису.
Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложенияили координатами вектора в данном базисе.Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании дают один и тот же вектор.
Практические задания для аудиторной работы
1.
ТочкаК
– середина ребраВС
тетраэдра
.
Разложите вектор
по векторам
,
и
.
2.
ТочкаК
– середина ребра В1С1
куба
.
Разложите вектор
по векторам
,
,
и найдите длину этого вектора, если
ребро куба равно m.
3.
Дан вектор
.
Найдите вектор
,
если
,
абсцисса вектора
равна
ординате вектора
,
а ордината вектора
равна нулю.
Практические задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1.
Основанием пирамиды с вершинойО
является параллелограмм ABCD,
диагонали которого пересекаются в
точке М.
Разложите векторы
и
по векторам
,
и
.
2.
Дан вектор
.
Найдите вектор
,
если
,
аппликата вектора
равна
абсциссе вектора
,
а ордината вектора
равна нулю.
Вариант 2
1.
В
тетраэдре ABCD
медиана АА1
грани АВС
делится точкойК
так, что
.
Разложите вектор
по векторам
,
,
.
2.
Дан вектор
.
Найдите вектор
,
если
,
ордината вектора
равна
аппликате вектора
,
а абсцисса вектора
равна 5.
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:
- порядковый номер и наименование практической работы;
- цель практической работы;
- ход выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1. Что называют векторным базисом в пространстве?
2. Какие вектора называются компланарными?
3. Какими не могут быть вектора в векторном базисе?
4. Какими бывают базисы?
5. Что называют разложением вектора по базису?
Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.
Список рекомендуемой литературы:
1. Геометрия, 10-11кл: Учеб.для общеобразоват. Учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.:Просвещение, 2001.
2. Учебное электронное пособие для основной школы издательства «Дрофа» - «Открытая математика 2.6. Стереометрия».