Практическая работа № 34 Применение производной второго порядка к исследованию графика функции на выпуклость и перегиб
Цель: научиться применять производную второго порядка к исследованию графика функции на выпуклость и перегиб.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «КЭМТ».
Средства обучения:
методические рекомендации к практической работе № 34.
Для выполнения задания необходимо:
знать:- определение производной функции первого и второго порядков;
- формулы и правила дифференцирования функций;
- определение точки перегиба функции;
- теорему о выпуклости функции.
уметь:- находить производные второго порядка;
- определять характер выпуклости с помощью второй производной;
- находить точки перегиба функции.
Рекомендации по выполнению заданий:
1. Повторите пройденный материал согласно требованиям к знаниям.
2. Прочтите краткую теоретическую справку.
3. Выполните с помощью преподавателя в случае необходимости практические задания для аудиторной работы, которые включают следующие виды работ:
нахождение производной первого и второго порядков;
определение характера выпуклости с помощью второй производной;
нахождение точек перегиба.
4. Выполните задания для самостоятельной работы в соответствии с вашим вариантом, пользуюсь алгоритмом выполнения аудиторных заданий.
5. Оформите отчёт о выполнении практической работы. Ответьте письменно на контрольные вопросы. Сделайте вывод.
6. Представьте отчёт о выполнении практической работы преподавателю на проверку.
Краткая теоретическая справка
Кривая
называется выпуклой
вниз (вверх)
в промежутке
,
если она лежит выше (ниже) касательной
в любой точке этого промежутка.
Выпуклость
кривой, являющейся графиком функции
,
характеризуется знаком её второй
производной: если
в некотором промежутке
,
то кривая выпукла вниз в этом промежутке;
если же
,
то кривая выпукла вверх в этом промежутке.
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
Если
в точке перегиба x0
существует вторая производная f
''( x0
),
то
.
Теорема.
Пусть
дифференцируема на промежутке
.
Если во всех точках промежутка
вторая производная функции y=f(x)
отрицательная, т.е.
,
то график функции на этом промежутке
выпуклый, если же
– вогнутый.
Практические задания
Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
Для аудиторной работы
а)
; б)
; в)
; г)
.
Для самостоятельной работы
Вариант 1
а)
; б)
; в)
.
Вариант 2
а)
; б)
; в)
.
Вариант 3
а)
; б)
; в)
.
Вариант 4
а)
; б)
; в)
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:
- порядковый номер и наименование практической работы;
- цель практической работы;
- ход выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1. Понятие выпуклости функции.
2. Понятие точки перегиба функции.
3. Как с помощью второй производной определить характер выпуклости функции.
Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.
Список рекомендуемой литературы:
1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. Кн. 2. – М.: «Издательство Новая Волна», 2009.
2. Лекции по математическому анализу, теории функций комплексного переменного и специальным функциям. - [Электронный ресурс] Режим доступа:
http://www.dmarsentev.narod.ru/kamenev.htm.
3. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович.— М.: Мнемозина, 2009.
4. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс – М.: Просвещение, 2011.
5. http://uztest.ru – сайт подготовки к ЕГЭ.
6. http://ru.wikipedia.org – официальный сайт свободной энциклопедии Википедии.