Практическая работа № 32 Применение производной первого порядка к исследованию функции на монотонность и экстремумы функции

Цель: научиться находить промежутки возрастания и убывания функции, определять точки экстремума функции.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «КЭМТ».

Средства обучения:

• методические рекомендации к практической работе № 32.

Для выполнения задания необходимо:

знать:- определениявозрастающей и убывающей функций;

- определение экстремума функции, точек максимума и минимума функций;

- необходимое и достаточное условия экстремума функции.

уметь:- находить промежутки монотонности функции;

- находить точки экстремума функции с помощью первой производной и определять их характер.

Рекомендации по выполнению заданий:

1. Повторите пройденный материал согласно требованиям к знаниям.

2. Прочтите краткую теоретическую справку.

3. Выполните с помощью преподавателя в случае необходимости практические задания для аудиторной работы, которые включают следующие виды работ:

• определение характера монотонности функции и нахождение промежутков возрастания и убывания функции;

• исследование функции на экстремум с помощью первой производной.

4. Выполните задания для самостоятельной работы в соответствии с вашим вариантом, пользуюсь алгоритмом выполнения аудиторных заданий.

5. Оформите отчёт о выполнении практической работы. Ответьте письменно на контрольные вопросы. Сделайте вывод.

6. Представьте отчёт о выполнении практической работы преподавателю на проверку.

Краткая теоретическая справка

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых таких, что , имеет место равенство .

Функция называется убывающей на промежутке , если для любых таких, что , имеет место равенство .

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума функции: если функция f(x) определена в окрестности точки x₀ , дифференцируема в этой точке и имеет экстремум, то f '(x₀) = 0.

После выполнения необходимого условия экстремума функции, для определения характера экстремума функции следует проверить выполнение одного из достаточных условий.

Первое достаточное условие экстремума функции: если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума; если же с плюса на минус, то – точка максимума.

Практические задания

1. Найти промежутки монотонности функции.

2. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной.

Для аудиторной работы

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Вариант 2

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Вариант 3

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Вариант 4

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-2.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Понятие возрастающей и убывающей функции.

2. Теоремы о возрастании и убывании функции.

3. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.

Список рекомендуемой литературы:

1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. Кн. 2. – М.: «Издательство Новая Волна», 2009.

2. Лекции по математическому анализу, теории функций комплексного переменного и специальным функциям. - [Электронный ресурс] Режим доступа:

http://www.dmarsentev.narod.ru/kamenev.htm.

3. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович.— М.: Мнемозина, 2009.

4. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс – М.: Просвещение, 2011.

5. http://uztest.ru – сайт подготовки к ЕГЭ.

6. http://ru.wikipedia.org – официальный сайт свободной энциклопедии Википедии.