33. Геометрический смысл производной и дифференциала и физический смысл производной.
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и
рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Δх (рис. 2).
На
рисунке |АМ| = Δх, |А
|
= Δу. Из прямоугольного треугольника
МАВ имеем:
,
т.е.
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tg α = f ′ (х). Поэтому АВ = f ′ (х)⋅Δх.
Сравнивая полученный результат с формулой получаем dy = АВ, т.е. дифференциал
функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой
точке, когда х получит приращение Δх.
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
34. Дифференцирование функций
Дифференциалом
функции называется
линейная относительно 
часть
приращения функции. Она обозначается
как 
или 
.
Таким образом:
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Понятие дифференциала функции
Дифференциалом функции у = f (х) в точке х называется главная часть её приращения,
равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или
df (x)): dy = f ′ (x)⋅Δx.
Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдём
дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х.
Так как у' = х' = 1, то имеем dy = dx = Δx, т.е. дифференциал
независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = Δx.
Поэтому формулу можно записать так:
dy = f ′ (x) dx,
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на
дифференциал независимой переменной.
35. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производные алгебраической суммы, произведения, частного. Примеры
Пусть
функции и 
и
имеют
производные в точке x
. Тогда
Константу можно выносить за знак производной.
Пример:
2. Производная суммы/разности.
Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.
Пример:
3. Производная произведения.
Пример:
4. Производная частного.
Пример:
5. Производная сложной функции.
Производная
сложной функции равна производной этой
функции по промежуточному аргументу 
,
умноженной на производную от промежуточного
аргумента
по
основному аргументу 
.
и 
имеют
производные соответственно в точках 
и 
.
Тогда
36. Дифференциал суммы, произведения, частного.
дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными св-вам производной.
Дифференциал постоянной равен нулю: dc=0, c= const.
Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифф. слагаемых: d(u+v)=du+dv
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны: d(u+c)= du ( c= const)
Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй, плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv+ vdu
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала : d(cu)= cdu (c=const).
Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций u =u(х) и v= v(x) определяется формулой d(
Свойство независимости дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимости переменной или функцией другой независимой переменной.