3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

32. Сходящиеся последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве. Свойства ограниченных последовательностей точек.

—n-ная частичная сумма.

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно. Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательностьего частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

• Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность, которая является ограниченной.

• Сумма (разность, произведение) сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

• Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде, где— предел последовательности, а— некоторая бесконечно малая последовательность.

32. Принцип выбора Больцано-Вейштрасса. Распространение на случай пространства произвольной конечной размерности

Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.

Пусть дана последовательность точек пространства :

(нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:

также ограничена (— номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейрштрасса из последовательности можно выделить подпоследовательность точек, первые координаты которыхобразуют сходяющуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности ещё раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После шагов получим некоторую последовательность

являющуюся подпоследовательностью , и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.