
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Принцип выбора Больцано-Вейштрасса. Распространение на случай пространства произвольной конечной размерности
- •Предел функции. Повторные пределы функции. Предел функции нескольких переменных
- •Определение
- •Равенство повторных пределов
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Непрерывность функции по совокупности переменных и по каждой переменной в отдельности.
- •Непрерывность и суперпозиция непрерывных функций.
- •2. Непрерывность сложной функции.
- •Теорема Коши о промежуточном значении функции, непрерывной на множестве.
- •Теорема Вейерштрасса о функциях, непрерывных на множествах. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте
- •Равномерная непрерывность функции нескольких переменных. Теорема Кантора.
- •Доказательство. Воспользуемся доказательством от противного.
- •Замечания
- •Частные производные от функции нескольких переменных.
- •Формула для полного приращения функции. Дифференцируемость функции в точке.
- •Функции нескольких переменных
- •Теорема о дифференцируемости сложной функции.
- •Связь между полным дифференциалом и полным приращением функции. Дифференциал функции
- •Связь дифференциала с частными производными
- •Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Производная от скалярной функции по данному направлению.
- •Градиент скалярной функции и его аналитическое выражение. Оператор «набла».
- •Определение
- •Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Частные производные высших порядков
- •Основа теоремы о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования
- •Полные дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •Понятие неявной функции. Теорема о её существовании и дифференцируемости. Неявно заданная функция
- •Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно
- •Вычисление частных производных функция, заданных неявно.
- •Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.
- •Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
- •Достаточные условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных
- •Исследование квадратичной формы для функции двух переменных. Метод вычисления критериев Сильвестера.
- •Понятие условного экстремума. Сведение условного экстремума к безусловному.
- •Метод неопределённых множителей Лагранжа.
- •Описание метода
- •Обоснование
- •Двумерный случай
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Сходящиеся последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве. Свойства ограниченных последовательностей точек.
—n-ная частичная
сумма.
Сходимость
Ряд
называется сходящимся поточечно, если
последовательность
его
частичных сумм сходится поточечно. Ряд
называется сходящимся равномерно, если
последовательность
его частичных сумм сходится равномерно.
Необходимое условие равномерной
сходимости
Свойства сходящихся последовательностей
Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность
сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность
, которая является ограниченной.
Сумма (разность, произведение) сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Любую сходящуюся последовательность
можно представить в виде
, где
— предел последовательности
, а
— некоторая бесконечно малая последовательность.
Принцип выбора Больцано-Вейштрасса. Распространение на случай пространства произвольной конечной размерности
Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.
Пусть
дана последовательность точек пространства
:
(нижний
индекс — номер члена последовательности,
верхний — номер координаты). Если
последовательность точек пространства
ограничена,
то каждая из числовых последовательностей
координат:
также
ограничена (—
номер координаты).
В
силу одномерного варианта теоремы
Больцано — Вейрштрасса из
последовательности
можно
выделить подпоследовательность точек
,
первые координаты которых
образуют
сходяющуюся последовательность. Из
полученной подпоследовательности ещё
раз выделим подпоследовательность,
сходящуюся по второй координате. При
этом сходимость по первой координате
сохранится в силу того, что всякая
подпоследовательность сходящейся
последовательности также сходится. И
так далее.
После
шагов
получим некоторую последовательность
являющуюся
подпоследовательностью
,
и сходящуюся по каждой из координат.
Отсюда следует, что эта подпоследовательность
сходится.