
- •2. Несобственные интегралы
- •Несобственные интегралы второго рода – от неограниченных функций. Главное значение несобственного интеграла второго рода. Несобственные интегралы второго рода
- •Главное значение несобственного интеграла 2 рода
- •Сходимость несобственного интеграла второго рода от неотрицательной функции, признаки сравнения.
- •Сравнение (4.6)
- •Несобственные интегралы первого рода – по бесконечному промежутку. Главное значение несобственного интеграла первого рода. Несобственные интегралы первого рода
- •Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования
- •Признак Абеля
- •Признак Дирихле
2. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы второго рода – от неограниченных функций. Главное значение несобственного интеграла второго рода. Несобственные интегралы второго рода
Пусть
на полуинтервале
задана функция
, интегрируемая на любом
отрезке
,
где
,
однако не интегрируемая на отрезке
.
В точке
эта
функция может быть вовсе не определена
и стремиться к
при
,
любо вовсе не иметь никакого предела
при этой базе. Рассмотрим функцию
она
определена при
.
Эта функция
может
иметь предел при
(левосторонний
предел). Этот предел мы будем называть
значением интеграла от
по
всему полуинтервалу
и
обозначать в точности как обычный
интеграл:
Итак, дадим такое определение:
Определение
4.6Пусть функцияудовлетворяет
указанным выше условиям на
.
Несобственным
интегралом второго рода назовём тогда
интеграл
значение
которого
равняется левостороннему пределу
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать
Геометрически
вычисление несобственного интеграла
второго рода представляет собою (при
)
исчерпание площади неограниченной
фигуры под графиком функции
над
с
помощью вычисления площадей ограниченных
фигур, получающихся над отрезком
,
а затем приближением правого конца
к
точке
(см. рис.).
Рис.4.7.Итак,
площадь неограниченной фигуры,
изображённой на рисунке,по определениюравна значению несобственного интеграла
.
Пример
4.8Найдём площадьфигуры,
расположенной под графиком функции
над
промежутком
.
(Заметим, что функция
не
определена при
и
стремится к
при
,
так что указанная фигура -- неограниченная
и площадь задаётся несобственным
интегралом второго рода (см. рис.):
Рис.4.8.
Возьмём
и
вычислим обычный (собственный) определённый
интеграл
Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:
Далее вычисляем предел:
Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:
Замечание
4.4Как и в случае
несобственных интегралов первого рода,
часто понимают вычисление предела
подстановкикак
подстановку с верхним предельным
значением
:
имея
в виду, что подстановка верхнего предела
интегрирования означает переход к
левостороннему пределу при
.
При таком обозначении запись вычисления в предыдущем при=мере выглядит так:
Заметим,
что здесь мы, глядя на эти вычисления,
могли и не заметить, что вычисляемый
интеграл -- несобственный. Это произошло
потому, что первообразная
,
которую мы использовали для вычисления
подстановки, непрерывна слева в точке
.
Определение
4.7Аналогично интегралу
по полуинтервалуот
функции
с
особенностью в точке
,
определяется несобственный интеграл
второго рода от функции
,
имеющей особенность в точке
полуинтервала
:
если существует предел
В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся.
Замечание
4.5Если сделать замену,
то несобственный интеграл от функции,
имеющей особенность в правом конце
промежутка интегрирования, переходит
в несобственный интеграл от функции с
особенностью в левом конце промежутка,
и наоборот (проверьте это утверждение,
сделав замену
в
интеграле
,
где
при
).
Поэтому свойства несобственных интегралов
второго рода достаточно устанавливать
лишь в каком-нибудь одном случае,
например, в случае особенности в правом
конце промежутка, а свойства интегралов
с особенностью функции в левом конце
будут получаться очевидными
переформулировками.
Пример 4.9Рассмотрим интеграл
Если
,
то подынтегральная функция
стремится
к
при
,
так что получается несобственный
интеграл второго рода.
Рассмотрим такие случаи:
1)
.
Тогда интеграл вычисляется так:
поскольку
при
имеем
и
2)
.
Тогда
то
есть интеграл расходится, поскольку
при
.
3)
.
Тогда
и
интеграл снова расходится, поскольку
при
,
если показатель
.
Заметим
также, что при
интеграл
не является несобственным: это обычный
(то есть собственный) интеграл от
непрерывной ограниченной функции.
Единственная неприятность получается
при
,
поскольку тогда подынтегральная функция
не
определена при
(и
тождественно равна 1 при
).
Но мы знаем, согласно одному из свойств
определённого интеграла, что значение
подынтегральной функции в одной точке
можно изменить без изменения значения
интеграла. Так что достаточно переопределить
значение в 0, положив
и
получив собственный интеграл
Согласно замечанию 4.5, из примера 4.9 следует, что интеграл
(с
особенностью функции в правом конце)
сходится при
и
расходится при
.