10. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Теорема 1. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:

f(–x) = f(x).

(1)

Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:

(2)

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

(3)

Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку  x = – st:

(4)

Утверждение доказано. Теорема 2. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:

f(–x) = – f(x).

(5)

Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен нулю:

(6)

Теорема доказывается аналогичным образом:

(7)

11. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций

Пусть , т.е. мы аппроксимируем f(x) левой кусочно–линейной интерполяцией. Тогда получим .

Таким образом, . Эта формула называется формулой левых прямоугольников.

Геометрическая интерпретация:

Учитывая, что интеграл от некоторой функции дает значение площади, то площадь криволинейной области заменяется на сумму площадей прямоугольников.

Аналогично получается формула правых прямоугольников. Здесь . В результате получим:

Формула средних прямоугольников. Здесь функция на отрезке заменяется на ее значение в середине отрезка, т.е.

Тогда, получим - это формула средних прямоугольников.

Её удобно записать в виде

Формула трапеций

В этой формуле , т.е. площадь криволинейной трапеции, заменяется на площадь прямоугольной трапеции.

Формула трапеций получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:

.

Несобственный интеграл

1 Несобственный интеграл 1-го рода. Абсолютно сходящиеся интегралы

Определение   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

• Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится).

• Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл по этому же промежутку, то первый интеграл называется Абсолютно сходящимся.

Если интеграл Сходится, а интеграл расходится, то первый интеграл называется Условно сходящимся.

2. Сходимость интегралов в случае положительных функций

Если функция положительна (неотрицательна), то интеграл

представляет собой монотонно возрастающую функцию от переменной А.

Для сходимости несобственного интеграла - в случае положительной функции - необходимо и достаточно, чтобы интеграл при возрастании А оставался ограниченным сверху.

3. Сходимость интеграла в общем случае. Признак Абеля . Признак сходимости Дирихле.

Теорема 1 (признак Дирихле).Если на полуосиx > a:     1) функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную;     2) функция g непрерывно дифференцируема и убывает, стремясь к нулю приx + , т. е. g(x) = 0; то интеграл

f(x)g(x)dx

(29.41)

сходится.

Теорема 2 (признак Абеля).Если на полуосиx > a:     1) функция f непрерывна и интеграл

f(x)dx

(29.48)

сходится;     2) функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна; то интеграл

f(x)g(x)dxсходится.

4. Несобственные интегралы 2-го рода. Разрывы подынтегральной функции.

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Определение: Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непрерывна. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

 

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда функция f(x) имеет разрыв в точке х=а:

Определение: Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=а, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непрерывна. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

 

Определение 7: Пусть функция f(x) имеет разрыв во внутренней точке с промежутка (а; b), а остальных точках этого промежутка он

5 Условия и признаки существования интеграла

• Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

• Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при удовлетворяют неравенствам . Тогда: если сходится интеграл , то сходится интеграл ; если расходится интеграл , то расходится интеграл

6.Главное значение несобственного интеграла

Пусть интеграл     имеет единственную особенность во внутренней точке промежутка  [a,b]. Составим сумму

(1)

и выполним предельный переход, устремив к нулю и .       Если существует двойной предел выражения (1), не зависящий от способа предельного перехода, то он называется несобственным интегралом от функции  f(x)  по промежутку  [a,b]:

(2)

      В этом случае

(3)

где  F(x)  – первообразная функции  f(x).       Если предел (2) существует лишь при согласованном предельном переходе, а именно когда , то этот предел называется главным значением несобственного интеграла     и обозначается символическим выражением

(4)

      В таких случаях говорят, что интеграл     сходится в смысле главного значения.

7 Свойства несобственных интегралов

Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с для интеграла

на для интеграла от функции с особенностью в точке :

1. Пусть фиксированы числа и функция интегрируема на любом отрезке , где , и имеет особенность в точке . Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом сходится интеграл . Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл .

2. (теоpемасpавнения)   Пусть даны две функции и , заданные на и имеющие особенность в точке , причём при всех выполняется неравенство

3. 

Тогда из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции, причём

(4.5)

а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:

.3 Если интеграл сходится, то сходится также интеграл

причём имеет место неравенство

• Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.

• Если несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся.     

8. Интегрирование по частям.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = u*dv + v*duИнтегрирую это равенство получим формулу интегрирования по частям, она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходиться использовать несколько раз.

9. Замена переменных в несобственных интегралов.

1. Вычисление площадей. Площадь, ограниченная одной кривой. Площадь, заключенная между двумя кривыми. Площадь сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

2. Длина дуги кривой, заданной параметрически, заданной явно и заданной в полярных координатах.

3. Вычисление объемов тел вращения

4. Вычисление объёмов тел по их поперечным сечениям

5. Вычисление поверхности тел вращения.

6. Вычисление пути, пройденного телом.

7. Вычисление работы сил.

8. Вычисление статических моментов и центра тяжести материальной кривой. Первая теорема Гульдина.

9. Вычисление статических моментов и центра тяжести плоской фигуры. Вторая теорема Гульдина.