26. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции на замкнутом промежутке.
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Из
ображенная
на рисунке
функция 
непрерывна
на отрезке 
и
принимает свое наибольшее значение M в
точке 
,
а наименьшее m –
вточке
.
Для любого 
справедливо неравенство: 
.
2)
Если функция 
непрерывна
на отрезке 
,
то она ограничена на этом отрезке, т.е.
существует постоянная 
такая,
что 
27. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними. Следствия теоремы Больцано-Коши
Теорема о нуле непрерывной функции. Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.
В частности любой многочлен нечётной степени имеет, по меньшей мере, один нуль. 28. Определение обратной функции. Теорема о непрерывности обратной функции. Определение: Пусть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений R(f). Обратная к f — функция f−1 определяется как функция с областью определения D(f−1)=R(f) и множеством значений R(f−1)=D(f) , такая что f−1(y)=x тогда и только тогда, когда f(x)=y. Таким образом, f−1 возвращает y обратно в x. Примеры: Найти функцию, обратную функции y=3x+5. Решение: Функция y=3x+5 определена и возрастает на всей числовой оси. Следовательно, обратная функция существует и возрастает. Разрешая уравнение относительно x, получим x=(y−5)/3. Показать, что функция y=kx, где (k≠0) обратна сама себе. Решение: Функция y=kx определена и монотонна на всей числовой оси, кроме точки x=0 . Следовательно, обратная функция существует. Область значений функции — вся числовая ось, кроме точки y=0. Разрешая уравнение относительно x, получим x=k/y. Теоремао непрерывности обратной функции: Если
и
строго
возрастает(убывает) на 
,
то на 
определена
функция
,
которая будет обратная к
,
непрерывная на
и
строго возрастать(убывать)
на
.
Доказательство:
Предположим,
что функция
строго
возрастает на промежутке 
.
По
следствию из функций
область значений 
непрерывной
функции
тоже
есть промежуток.
В силу строгого
возрастания функции
для
каждого 
существует
единственная точка 
такая,
что 
.
Следовательно,
для функции
существует
обратная функция 
определенная
на промежутке 
и
с множеством значений 
.
Покажем,
что
строго
возрастает на
.
Пусть 
и
—
две произвольные точки из
,
такие, что
и
прообразами этих точек будут
точки 
и 
. 
и 
.
Поскольку
—
строго возрастающая функция, то
неравенство 
возможно
тогда и только тогда когда 
или
тоже самое, когда
.
В
силу произвольности
делаем
вывод, что функция
—
строго возрастает на множестве
.
29. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.
Функция
определенна
на множестве 
называется равномерно
непрерывной на 
если 
что
для любых двух точек 
удовлетворяющих
условию 
,
выполняется
неравенство 
.
Теорема
Кантора. Пусть
функция f(x) определена
и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b].
Тогда она равномерно непрерывна на этом
отрезке.
Доказательство.
Пусть
функция
определена
и непрерывна на множестве 
.
такое,
что если 
то
то 
.
Выберем произвольное 
и
положим 
.
Построим для каждой
точки 
окрестность
Объединение
таких окрестностей покрывает множество 
.
Поскольку
—
компактное множества, то из построенного
открытого покрытия можно выделить
конечное подпокрытие 
такое,
что
.
Положим 
.
Возьмем произвольные точки 
для
которых 
.
Поскольку 
покрывается
системой 
то
найдется такой
номер 
что 
.
Тогда 
и 
. Следовательно
