3. Типи максимумів. Теорема Вейєрштрасса та теореми про достатні умови глобального максимуму

У загальній задачі МП вектор змінних є точкою глобального максимуму (або розв’язком), якщо він належить області існування планів задачі МП та цільова функція набуває на цьому векторі значення не менше ніж в будь-якій іншій допустимій точці: .

Глобальний максимум є строгим (сильним), якщо цільова функція при строго більше будь-якого іншого значення функції на допустимій області, тобто .

Умови існування глобального максимуму формулює теорема Вейєрштрасса.

Теорема Вейєрштрасса. Нехай допустима множина компактна (тобто обмежена і замкнена) і непорожня. Тоді неперервна цільова функція , яка означена на цій множині, досягає глобального максимуму на внутрішній або крайовій точці множини .

Умови теореми є достатніми, але не необхідними.

Вектор змінних є точкою локального максимуму, якщо він належить допустимій множині, то на ньому досягається значення цільової функції більше або рівне значенням функції в деякому малому околі цього вектора

,

де  окіл вектора , в даному випадку множина точок , що задовольняє умові

для будь-якого малого додатного числа .

Локальний максимум є строгим, якщо значення цільової функції в точці є найбільшим значенням, яке досягає цільова функція в деякому малому околі

.

Очевидно, глобальний максимум є локальним, зворотне ствердження не правильне, бо можуть існувати інші локальні максимуми, на яких цільова функція приймає більші значення.

Теорема (достатні умови глобального максимуму). Нехай допустима множина не порожня, компактна й опукла, а неперервна цільова функція вгнута на . Тоді локальний максимум є глобальним, а множина точок, на якій досягається максимум, є опуклою.

Якщо функція є строго вгнутою, то розв’язок єдиний, тобто існує єдиний глобальний максимум.

4. Специфіка задач математичного програмування

По-перше, до задач МП не можна застосовувати, як правило, методи класичного аналізу відшукання умовних екстремумів, тому що навіть у найбільш простих задачах (лінійних) екстремум досягається в граничних точках множини умов, тобто в точках, де порушується диференційованість. І найбільш сильний метод розв’язування екстремальних задач в класичному аналізі - метод множників Лагранжа – розроблено для випадку, коли множина умов задається системою рівнянь, а не системою нерівностей.

По-друге, в практичних задачах число змінних і обмежень настільки значне, що якщо просто перебирати всі точки, які підозрюються на екстремальність, то не можна впоратися з цією задачею в розумні терміни навіть за допомогою ЕОМ.

Контрольні запитання

1. Що таке математичне програмування?

2. Надайте загальну постановка задачі математичного програмування.

3. Як представлені обмеження в загальній постановці задачі математичного програмування

4. Що таке план задачі математичного програмування?

5. Який план задачі математичного програмування називається допустимим?

6. Наведіть математичну модель оптимізаційної задачі.

7. Наведіть класифікацію задач математичного програмування.

8. Сформулюйте теорему Вейєрштрасса.

9. Сформулюйте теорему про достатні умови глобального максимуму.

10. Поясніть специфіку задач математичного програмування.