Тема 9 «Параметричне програмування»

План лекції

1. Зміст задач параметричного програмування.

2. Моделі задач параметричного програмування.

3. Алгоритми розв'язування задач параметричного програмування.

1. Зміст задач параметричного програмування.

Параметричне програмування – розділ математичного програмування, що вивчає задачі, відмінність яких від інших задач полягає в наступному. Коефіцієнти їхньої цільової функції, або числові характеристики обмежень, або й ті й інші, передбачаються не постійними величинами, як, наприклад, у лінійному програмуванні, а функціями, що залежать від деяких параметрів. Причому найчастіше ця залежність носить лінійний характер.

Параметричне програмування дозволяє в ряді випадків наблизити до реальності умови задач лінійного програмування.

Наприклад, якщо коефіцієнти цільової функції являють собою ціни деяких продуктів, то цілком природно буває припустити, що ці ціни не постійні, а є функціями параметра часу.

Така залежність зустрічається при плануванні виробництва в сільському господарстві, де ціни на продукцію носять яскраво виражений сезонний характер.

При оптимізації економічних систем, коли поєднується гнучке використання детермінованих моделей зі спеціальними методами обліку випадкових факторів, параметричне програмування використовується для виявлення сімейства оптимальних рішень (кожне з яких відповідає деякому поєднанню умов задачі), що залежать від зміни одного або декількох параметрів. Таке сімейство оптимальних рішень становить зону невизначеності, аналіз якої дозволяє відмовитися від частини варіантів і тим самим спростити рішення задачі.

Важливою областю параметричного програмування є також аналіз стійкості рішень оптимізаційних задач. Ціль такого аналізу складається у визначенні інтервалу (області) значень того або іншого параметра, у межах якого рішення залишається оптимальним.

У загальному виді задача параметричного програмування є задачею максимізації цільової функції по всім х=(x₁,...,х _п) , що задовольняють обмеженням

де - вектор параметрів, що належить деяк множині параметрів При будь-якому фіксованому l, ця задача являє собою звичайну задачу математичного програмування.

Нехай - множина тих значень , при яких ця задача розв'язана (множина можливих розв'язків). Оптимальне рішення природно є функцією від .

Під розв'язанням задачі параметричного програмування розуміється сімейство при всіх .

Параметричне програмування є найбільш адекватним способом постановки важливої проблеми стабільності рішень задач оптимізації щодо варіацій тих або інших вихідних даних. Нарешті, із задачами параметричного програмування тісно зв'язана проблема знаходження множини оптимумів Парето в задачах багатокритеріальної оптимізації.

Якщо при будь-якому фіксованому задача параметричного програмування являє собою задачу лінійного програмування (опуклого програмування й т.п.), то говорять про задачу лінійного (відповідно, опуклого й т.п.) параметричного програмування.

У загальному виді проблематику параметричного програмування можна охарактеризувати таким чином:

1) Знаходження й з'ясування властивостей множини можливості розв'язання ;

2) Знаходження областей стабільності рішень, характеризація їхньої будови; аналіз поводження нестійких завдань.

3) Характеризація залежності оптимального значення цільової функції від вектора параметрів.

У повному своєму обсязі (тобто для довільних цільових функцій, обмежень і областей зміни параметрів ) ці задачі досить важкі.