Тема 7 «Двоїстість. Двоїстість (спряженість) у лінійному програмуванні»

План лекції (2 години)

1. Поняття двоїстості у лінійному програмуванні. Моделі двоїстих задач лінійного програмування.

2. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.

1. Поняття двоїстості в лінійному програмуванні

Кожній задачі лінійного програмування можна певним чином зіставити деяку іншу задачу (лінійного програмування), яка називається двоїстою або спряженою стосовно вихідної або прямої.

Теорія математичного лінійного програмування дозволяє не тільки одержувати оптимальні плани за допомогою ефективних обчислювальних процедур, але й робити ряд економічно змістовних висновків, заснованих на властивостях задачі, що є двоїстою стосовно вихідної ЗЛП.

Нехай як вихідну розглянемо задачу:

= c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n → max; (1)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ...             am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm;

x_j ≥ 0,  

Задача лінійного програмування, двоїста задачі (1), буде мати вигляд:

= b₁y₁ + b₂y₂ + ... + b_my_m → min; (2)

a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ c1, a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ c2, ...             a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym ≥ cn;

y_i ≥ 0,   .

Можна сформулювати правила одержання двоїстої задачі із вихідної задачі:

1. Якщо у вихідній задачі шукається максимум цільової функції, то у двоїстій їй - мінімум.

2. Коефіцієнти при змінних у цільовій функції однієї задачі є вільними членами системи обмежень іншої задачі.

3. У вихідній ЗЛП всі функціональні обмеження - нерівності виду “≤”, а в задачі, двоїстої їй, - нерівності виду “≥”.

4. Коефіцієнти при змінних у системах обмежень взаємно двоїстих задач описуються матрицями, транспонованими відносно одна одної.

5. Число нерівностей у системі обмежень однієї задачі збігається із числом змінних в іншій.

6. Умова незаперечності змінних зберігається в обох задачах.

Двоїсті пари задач звичайно підрозділяють на:

• симетричні

• несиметричні.

У симетричній парі двоїстих задач обмеження прямої задачі й співвідношення двоїстої задачі є нерівностями виду «≤ ».

Таким чином, змінні обох задач можуть приймати тільки від’ємні значення.

2. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст

Зв'язок між оптимальними планами двоїстих задач установлюють теореми двоїстості.

Теорема 1. Якщо одна із двоїстих задач має кінцевий оптимум, то інша також має кінцевий оптимум, причому екстремальні значення цільових функцій збігаються:

.

Якщо цільова функція однієї із двоїстих задач необмежена, то умови іншої задачі суперечливі.

Теорема 2 (про додаткову нежорскість). Для того щоб план і план були оптимальними рішеннями, відповідно, задач (1) і (2) необхідно й достатньо, щоб виконувалися наступні співвідношення:

Таким чином, якщо компонент оптимального плану більше нуля, то при підстановці у відповідне обмеження двоїстої задачі оптимального плану це обмеження буде рівністю, і навпаки.

Теорема про оцінки. Значення змінних в оптимальному рішенні двоїстої задачі являють собою оцінки впливу вільних членів b_i у системі обмежень прямої задачі на величину цільової функції :

Компоненти оптимального рішення двоїстої задачі прийнято називати двоїстими оцінками. Часто вживається також термін «об'єктивно обумовлені оцінки».

На властивостях двоїстих оцінок базується економіко-математичний аналіз розподілу ресурсів. У межах стійкості двоїстих оцінок мають місце властивості, розглянуті нижче.

При описі властивостей двоїстих оцінок будемо користуватися задачею про хокейні ключки й шахові набори для наочної ілюстрації розглянутих положень.

Формулювання прямої (вихідної) задачі:

= 2x₁ + 4x₂ → max;

4x1 + 6x2 ≤ 120, 2x1 + 6x2 ≤ 72, x2 ≤ 10;

x₁ ≥ 0,   x₂ ≥ 0.

Одержимо двоїсту задачу.

=120y₁ + 72y₂ + 10y₃ → min;

4y1 + 2y2 ≥ 2, 6y1 + 6y2 + y3 ≥ 4,
y1 ≥ 0,   y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.

У результаті рішення одержимо наступні оптимальні плани:

= (24, 4); = (1/3, 1/3, 0).

Легко переконатися, що при підстановці оптимальних планів у цільові функції задач обоє одержувані значення рівні 64.

Перейдемо до розгляду властивостей двоїстих оцінок.

Властивість 1. Оцінки як міра дефіцитності ресурсів. Двоїсті оцінки відбивають порівняльну дефіцитність факторів виробництва. Чим вище величина оцінки , тим вище дефіцитність i-го ресурсу. Фактори, що одержали нульові оцінки, не є дефіцитними й не обмежують виробництво.

У нашім прикладі нульову оцінку одержав третій ресурс ( = 0), тому він не є дефіцитним, тобто, з погляду задачі, фонд робочого часу на ділянці З не обмежує виробництво. Навпроти, перший (ділянка А) і другий (ділянка В) ресурси є дефіцитними, причому обмежують виробництво однаковою мірою ( = = 1/3).

Останнє твердження легко підтвердити, підставивши й в обмеження вихідної задачі:

4*24 + 6*4 = 120, 2*24 + 6*4 = 72, 4 < 10.

Звідки видно, що при реалізації оптимального плану фонд робочого часу ділянки З, дійсно, витрачається не повністю.

Властивість 2. Оцінки як міра впливу обмежень на значення цільової функції. Величина двоїстої оцінки якого-небудь ресурсу показує наскільки зросло б максимальне значення цільової функції, якби об'єм даного ресурсу збільшився на одиницю. У зв'язку із цим значення об'єктивно обумовленої оцінки іноді називають тіньовою ціною ресурсу. Тіньова ціна - це вартість одиниці ресурсу в оптимальному рішенні.

Однак потрібно враховувати, що двоїсті оцінки дозволяють виміряти ефективність лише незначної зміни об'єму ресурсів. При значних змінах може бути отримані новий оптимальний план і нові двоїсті оцінки.

Для нашого приклада збільшення (зменшення) фонду часу на ділянці А або В повинне приводити до збільшення (зменшенню) максимального прибутку на $1/3. Відповідно, наприклад, при збільшенні фонду часу ділянки А на 12 н-годин загальний прибуток повинен збільшитися на $4 (1/3*12).

Властивість 3. Оцінки як інструмент визначення ефективності окремих господарських рішень. За допомогою двоїстих оцінок можна визначити вигідність випуску нових виробів, ефективність нових технологічних способів виробництва. При цьому ефективним може вважатися той варіант виробництва, для якого сума прибутку, недоотриманої через відволікання дефіцитних ресурсів, буде менше прибутку одержуваної. Різниця між цими величинами (Δ_j) обчислюється як:

(3)

У тому випадку, якщо Δ_j ≤ 0, варіант виробництва є вигідним, якщо Δ_j > 0 – варіант невигідний.

Повернемося до нашого приклада. Нехай підприємство планує до випуску новий вид виробів: бейсбольні біти. Для виробництва однієї біти необхідно затратити 3 години роботи на ділянці А, 4 години роботи на ділянці В и 1 годину роботи на ділянці С. Прибуток, одержуваний від продажу однієї біти, становить $3. Чи вигідно підприємству випускати нову продукцію?

Для відповіді на питання розрахуємо Δ_j по формулі (3):

Δ_j = 3ּ + 4ּ + 1ּ - 3 = 3ּ1/3 + 4*1/3 + 1*0 - 3 = -2/3,

Δ_j < 0, значить виробляти бейсбольні біти вигідно.

Властивість 4. Оцінки як міра відносної заміни ресурсів з погляду кінцевого ефекту. Наприклад, відношення / показує, скільки одиниць k-го ресурсу може бути вивільнене при збільшенні об'єму i-го ресурсу на одиницю, для того щоб максимум цільової функції залишився на колишньому рівні; або навпаки, скільки одиниць k-го ресурсу необхідно додатково ввести при зменшенні на одиницю об'єму i-го ресурсу, якщо ми хочемо, щоб значення цільової функції не змінилося.

У нашім прикладі двоїсті оцінки першого й другого ресурсів рівні. Це означає, що, наприклад, при зменшенні фонду часу на ділянці А на 1 годину необхідно збільшити фонд часу на ділянці В на 1 годину, щоб загальна одержувана підприємством прибуток залишився незмінною.

Завершуючи розгляд питання, відзначимо, що застосування теорем подвійності (а саме, співвідношень (1) і (2)) дозволяє, знаючи оптимальне рішення однієї із взаємно двоїстих задач, відшукати оптимальне рішення іншої задачі.

Проілюструємо це твердження прикладом.

Приклад.

Для виробництва чотирьох видів виробів А₁, А₂, А₃ і А₄ завод повинен використовувати три види сировини I, II і III. Запаси сировини на планований період становлять, відповідно, 1000, 600 і 150 одиниць.

Технологічні коефіцієнти (витрата кожного виду сировини на виробництво одиниці кожного виробу) і прибуток від реалізації одиниці кожного виробу наведені в таблиці 1.

Таблиця 1 - Вихідні дані задачі про чотири види виробів

Види сировини	Технологічні коефіцієнти				Запаси сировини
	А1	А2	А3	А4
I	5	1	0	2	1000
II	4	2	2	1	600
III	1	0	2	1	150
Прибуток від реалізації	6	2	2,5	4

Потрібно, знаючи рішення даної задачі, вирішити задачу, двоїсту їй.

Сформулюємо вихідну ЗЛП.

= 6x1 + 2x2 + 2,5x3 + 4x4 → max;
5x1 + x2 + 2x4 ≤ 1000, 4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 ≤ 600, x1 + 2x3 + x4 ≤ 150;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.

Оптимальне рішення даної задачі полягає в наступному (сам процес рішення тут опускаємо):

= (0, 225, 0, 150); = 1050.

Сформулюємо двоїсту задачу й вирішимо її, використовуючи теореми двоїстості.

= 1000y1 + 600y2 + 150y3 → min;
5y1 + 4y2 + y3 ≥ 6, y1 + 2y2 ≥ 2, 2y2 + 2y3 ≥ 2,5, 2y1 + y2 + y3 ≥ 4.
y1 ≥ 0,   y2 ≥ 0,   y3 ≥ 0.

Підставимо , , і в обмеження вихідної задачі:

5*0 + 225 + 2*150 < 1000, 4*0 + 2*225 + 2*0 + 150 = 600, 0 + 2*0 + 150 = 150.

Отже, використовуючи другу теорему двоїстості й першу властивість двоїстих оцінок, можемо записати: = 0.

Розглянемо обмеження двоїстої задачі. Кожне з них відповідає однієї зі змінних вихідної задачі. Оскільки > 0 і > 0, тільки друге й четверте обмеження двоїстої задачі звертаються у рівність при підстановці в них оптимального плану . З огляду на, що = 0, можемо записати систему із двох рівнянь із двома невідомими:

2y2 = 2, y2 + y3 = 4.

Вирішуючи систему, одержимо: = 1, = 3.

Повністю рішення двоїстої задачі запишеться так: = (0, 1, 3); = 1050.

Контрольні запитання

1. Надайте визначення двоїстої задачі лінійного програмування.

2. Для чого використовується поняття двоїстості у лінійному програмуванні?

3. які основні властивості є у парі двоїстих задач?

4. В чому полягає економічна інтерпретація змінних двоїстої задачі?

5. Наведіть моделі двоїстих задач лінійного програмування.

6. Наведіть основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.