4. Задача нелінійного програмування й сідлова точка

Поняття сідлової точки.

Відправною точкою є поширення методу Лагранжа для рішення ЗНП із обмеженнями у формі нерівностей:

де X - деяка область у просторі Rⁿ.

Визначимо для завдання (2.28) функцію Лагранжа:

Пари векторів (х, u) називається сідловою точкою функції Ф(х, і) у деякій області X x U, якщо для будь-яких x ∈ X і u ∈ U

Нерівності (2.30) також називають нерівностями сідлової точки.

Як приклад сідлової точки може бути наведена точка (0, 0) для функції Ф(х,і) = -х² + і², яка визначена на множині R х R. Справді, Ф(0,0)=0, Ф(х,0)=-х², Ф(0, і) = і², а для будь-яких x∊R і u∊R виконуються нерівності -х² ≤ 0 і 0 ≤ і².

На рис. 2.7 зображений графік функції Ф(х,і) (гіперболічний параболоїд), і, як видно, в околиці точки (0,0) він дійсно за формою нагадує сідло, чим і пояснюється походження відповідного терміна.

5. Умови Куна-Таккера для знп. Теорема Куна-Таккера

Центральне місце в теорії нелінійного програмування займає теорема Куна-Таккера, що зв'язує рішення ЗНП із наявністю сідлової точки у відповідній функції Лагранжа.

 

Теорема. (Достатня умова екстремуму). Якщо (х, і) - сідлова точка функції Лагранжа, в області x∊X⊇D, і≥0, то х є оптимальним планом задачі (2.28), причому справедливо так зване правилонежорсткост,, що доповнює:

Доведення.

По визначенню сідлової точки

при всіх x∊X, і≥0. Із другої нерівності в (2.32) треба, що

Однак (2.33) може мати місце тільки тоді, коли g_i(x)≤0 при всіх i∊1:m. Дійсно, якщо існує таке k, що g_k(x)>0, те, поклавши и_i=0 для всіх i ≠ k і вибравши досить велике и_k > 0, можна домогтися того, що значення

виявиться більше постійного вираження

З того, що для всіх i∊1:m виконуються нерівності g_i(x)≤0, треба, що х є припустимим планом задачі (2.28).

Якщо в ліву частину нерівності (2.33) підставити значення u_i = 0, i∊1:m, то одержимо, що

Разом з тим що, g_i(x)≤0 і u_i ≥0, треба оцінка

Спільний розгляд останніх двох нерівностей приводить до правила нежорсткісті, що доповнює, у точці :

Тоді на підставі лівої частини нерівності сідлової точки (2.32) маємо, що для всіх х∊Х (у тому числі й для х∊D)

А ле умові ЗНП для будь-яких х∊D вірні нерівності g_i(x)≤0, що, у сполученні з умовою u_i ≥0, дозволяє записати

Виходить,

Остаточно одержуємо, що для будь-яких х∊D справедливе співвідношення f(x)≥f(x), тобто х - оптимальний план задачі (2.28). (

Затвердження, зворотне теоремі (2.3), тобто необхідна умова екстремума в ЗНП, виявляється вірним тільки при виконанні додаткових умов, яким повинна задовольняти завдання (2.28). Найважливішим з них є так звана умова регулярності Слейтера:

Говорять, що функція g_i (х), що задає обмеження в задачі (2.28), задовольняє умові регулярності Слейтера, якщо існує така точка , що належить області припустимих планів D, що

тобто. є внутрішньою точкою щодо обмеження g_i(x). Тому дану умову також називають умовою тілесності.

Загалом кажучи, існують різні варіанти необхідної умови Куна-Таккера. Приведемо один з них.

Теорема. (Необхідна умова наявності екстремуму). Якщо (D, f) є задачею опуклого програмування з рішенням х, її цільова функція f(x) і функції обмежень gi(x) - диференціюються, нелінійні обмеження у формі нерівностей задовольняють умові регулярності Слейтера, то існує такий вектор і ≥ 0, що (х,і)- сідлова точка функції Лагранжа Ф(х,і).

Не будемо доводити теорему, що є досить складним.

Значення теореми Куна-Таккера полягає в тому, що вона дозволяє зв'язати процес рішення задачі, що оптимізується, з пошуком сідлових точок функції Лагранжа, тобто, говорячи, з максимізацією цієї функції по х і мінімізацією по й.

Визначимо F(x) як функцію, що ставить у відповідність кожному значенню х мінімальне значення функції Ф(х,і) по й:

і за аналогією

Розглянемо задачу відшукання максимуму функції F(x)

і задачу мінімізації G(u)

Очевидно, що

Звідси треба, що максимум F(x) перебуває в припустимій області D і збігається з максимумом цільової функції f(x) задачі (2.28):

Таким чином, задача (2.34), у певному змісті, рівносильна (2.28). Аналогічні висновки можуть бути отримані й для (2.35). Задачі (2.34) і (2.35) утворять двоїсту пару. Як неважко догадатися, дане відношення є узагальненням відношення двоїстості для задач лінійного програмування. Відповідно, за певних умов пари двоїстих задач нелінійного програмування мають властивості, аналогічні властивостям двоїстих лінійних задач. Зокрема, при будь-яких х∊Х, і≥0

Умова (2.36) знаходить широке застосування при побудові оцінок в ітеративних методах вирішення оптимізаційних задач.

Наприклад, якщо є можливість приблизно вирішити пряму й двоїсту задачі й одержати послідовності наближень {х^(q)} і {і^(q)}, то за допомогою нерівностей виду

можна визначити момент зупинки обчислювальної процедури.

Відзначимо, що в процесі формування нелінійних двоїстих задач існує більша неоднозначність: їхній вид можна варіювати, включаючи в множину Х частина обмежень g_i(x)≤0.

Контрольні запитання

1. При яких умовах оптимізаційна задача може бути віднесена до класу нелінійних?

2. Приведіть приклад економічної моделі, що зводиться до задачі нелінійного програмування.

3. Перелічите основні труднощі, що виникають у процесі вирішення задачі нелінійного програмування.

4. Який зміст вкладається в поняття «умовна оптимізація»?

5. Для чого призначений метод множників Лагранжа й у чому його сутність?

6. Дайте визначення опуклої (вгнутої) функції.

7. Сформулюйте достатню умову опуклості (вгнутості) функції.

8. У чому є специфіка задач опуклого програмування?

9. Дайте визначення сідлової точки. Приведіть приклад функції, що має сідлову точку.

10. Сформулюйте необхідні й достатні умови теореми Куна-Таккера. Яке значення вони мають для вирішення задач нелінійного програмування?

11. Яка умови одержали назву «правила доповнюючої нежорскісті»?