Тема 8 «Спеціальні задачі мп. Спеціальні методи розв’язання злп»
План лекції
1. Транспортна задача (Т-задача) та її математична модель.
2. Методи визначення опорного плану Т-задачі.
3. Методи розв’язання Т-задач.
4. Розв’язання Т-задач методом потенціалів.
Транспортна задача ( т-Задача) та її математична модель.
Математична структура Т-задачі є характерною для значного класу ЗЛП, що мають загальну назву розподільчих.
Їх реальний зміст є досить різноманітним, зовсім не пов’язаним із задачею про перевезення вантажів. Т-задачі поділяються на групи і критерієм цього розподілу є цільова функція:
вартість перевезень;
строки перевезень;
відстань маршрутів тощо.
Розглянемо задачу, що стала класичною.
Загальна постановка транспортної задачі
складається з визначення оптимального
плану перевезень деякого однорідного
вантажу з т пунктів відправлення
в
п пунктів призначення
.
При цьому як критерій оптимальності звичайно береться:
або мінімальна вартість перевезень усього вантажу;
або мінімальний час його доставки.
Розглянемо транспортну задачу, як критерій оптимальності якої взята мінімальна вартість перевезень усього вантажу.
Позначимо
через
тарифи перевезення одиниці вантажу з
i-го пункту відправлення в j-й
пункт призначення, через
– запаси вантажу в i-му пункті
відправлення, через
–
потреби у вантажі в j-му пункті
призначення, а через
–
кількість одиниць вантажу, перевезеного
з i-го пункту відправлення в j-й
пункт призначення.
Тоді математичною постановкою задачі є визначення мінімального значення функції
(1)
при умовах
(2)
(3)
(4)
Оскільки
змінні
задовольняють системам лінійних рівнянь
(2) і (3) і умові невід’ємності (4),
забезпечуються доставка необхідної
кількості вантажу в кожний з пунктів
призначення, вивіз наявного вантажу із
всіх пунктів відправлення, а також
виключаються зворотні перевезення.
Визначення.
Усякий невід’ємний розв’язок систем
лінійних рівнянь (2) і (3), обумовлений
матрицею
,
називається планом транспортної
задачі.
Визначення.
План
,
при якому функція (1) приймає своє
мінімальне значення, називається
оптимальним планом транспортної
задачі.
Звичайно, вихідні дані транспортної задачі записують у вигляді відповідної таблиці 1.
Таблиця 1 Вихідні дані задачі
Очевидно, загальна наявність вантажу
в постачальників дорівнює
,
а загальна потреба у вантажі в пунктах
призначення дорівнює
одиниць.
Якщо загальна потреба у вантажі в пунктах призначення дорівнює запасу вантажу в пунктах відправлення, тобто
(5)
те модель такої транспортної задачі називається закритою.
Якщо ж зазначена умова не виконується, то модель транспортної задачі називається відкритою.
Теорема Для можливості розв'язання транспортної задачі необхідно й достатньо, щоб запаси вантажу в пунктах відправлення дорівнювали потребам у вантажі в пунктах призначення, тобто щоб виконувалася рівність (5).
У випадку
перевищення запасу над потребою, тобто
вводиться
фіктивний (n+1)-й пункт призначення
з потребою
й
відповідні тарифами вважаються рівними
нулю:
Отримана задача є транспортною задачею, для якої виконується рівність (5).
Аналогічно,
при
вводиться
фіктивний (m+1)-й пункт відправлення
із запасом вантажу
й
тарифи покладаються рівними нулю:
Цим задача зводиться до звичайної транспортної задачі, з оптимального плану якої виходить оптимальний план вихідної задачі.
Надалі будемо розглядати закриту модель транспортної задачі. Якщо ж модель конкретної задачі є відкритою, то, виходячи зі сказаного вище, перепишемо таблицю умов задачі так, щоб виконувалася рівність (5).
Число змінних у транспортній задачі з т пунктами відправлення й п пунктами призначення дорівнює пт, а число рівнянь у системах (2) і (3) дорівнює п+т. Тому що ми припускаємо, що виконується умова (5), то число лінійно незалежних рівнянь дорівнює п+т–1. Отже, опорний план транспортної задачі може мати не більше п+т–1 відмінних від нуля невідомих.
Якщо в опорному плані число відмінних від нуля компонентів дорівнює в точності п+т–1, то план є невиродженим, а якщо менше – то виродженим.
Як і для всякої задачі лінійного програмування, оптимальний план транспортної задачі є й опорним планом.