1. Як у загальному виді надається задача дискретного програмування?

2. Наведіть загальні характеристики дискретних задач.

3. Перелічіть класи дискретних оптимізаційних задач

4. Наведіть математичні моделі задач дискретного програмування.

5. Які існують спеціальні методи вирішення задач дискретного програмування?

Тема 2 «Клас цілочислових лінійних задач»

План лекції

1. Особливості задач цілочисельного програмування. Моделі ЦЗЛП.

2. Метод відсікань (метод Гоморі) розв’язання ЗЦЛП.

3. Комбінаторні методи розв’язування ЗЦЛП.

4. Метод гілок та меж в задачах цілочислового програмування. Ідея методу гілок і меж, ознака оптимальності плану.

1. Особливості задач цілочисельне програмування. Моделі цзлп

Цілочисельне програмування  це розділ дослідження операцій, що орієнтований на рішення задач, у яких всі змінні або частина з них є цілочисельними (повністю або частково цілочисельні задачі).

Класичним прикладом цілочисельних задач лінійного програмування (ЦЗЛП) є задача, що у літературі називається задачею комівояжера.

Ця задача формулюється таким чином. Комівояжер повинен відвідати ряд міст, відстані між якими відомі. Комівояжер вибирає самий короткий замкнутий маршрут, що починається й закінчується в місті його проживання, при цьому він повинен відвідати необхідне місто один і тільки один раз.

Очевидно, що завдання комівояжера полягає в оптимальному виборі його маршруту.

Іншою класичною задачею такого типу є задача про ранець.

Розглянемо формулювання цієї задачі. Є n предметів, при цьому відомо: a_j – вага j-ого предмета, c_j - цінність j-ого предмета, А – вантажопідйомність ранця. Необхідно завантажити ранець набором предметів максимальної цінності.

Складемо математичну модель задачі про ранець. На першому етапі введемо змінні:

У такому випадку функція цілі буде мати такий вигляд:

(1)

Задача вирішується в рамках наступних обмежень:

, (2)

.

У деяких інших моделях такої задачі можуть фігурувати й інші обмеження, наприклад, сумарний об'єм ранця, габарити предметів і т.д.

У загальному випадку ЗЦЛП формулюється в такий спосіб: знайти оптимальний план , що забезпечує досягнення цільовою функцією екстремального значення:

. (3)

Задача вирішується в рамках обмежень:

(4)

(5)

(6)

Якщо в обмеженні (6) j змінюється в межах , то вихідна задача називається повністю цілочисельною, якщо ж а , те задачу називають частково цілочисельною.

Відомо, що экстремум ЗЛП досягається у вершинах опуклого багатогранного тіла, що є ОДР (областю припустимих рішень) задачі. Для ЦЗЛП значення екстремуму може досягатися в будь-якій вершині ОПР. Це означає, що методи розв’язування ЗЛП у раніше освітленому виді (у курсі математичного програмування) не можуть бути застосовані для рішення ЦЗЛП.

Проілюструємо сказане геометрично.

Рис. 1

З рис 1. видно, що цілочисельний розв’язок може досягатися в будь-якій точці опуклого багатогранника.

Отже, для вирішення ЦЗЛП необхідно розглядати спеціальні методи.

Такі методи діляться на три основні групи:

I група - методи відсікання;

II група - комбінаторні методи (методи розсічення);

III група - наближені методи.

У методах III групи використовуються два основних підходи:

• розробка детермінованих евристичних алгоритмів, які враховують специфіку конкретної задачі;

• застосування спрямованого випадкового пошуку з локальною оптимізацією.