2. Моделі задач параметричного програмування

Досить просунуті в теоретичному й обчислювальному відношенні лише деякі частки такого класу задач. В основному це стосується задач лінійного параметричного програмування, у яких: або:

а) цільова функція лінійно залежить від одного скалярного параметра,

б) праві частини обмежень лінійно залежать від одного параметра,

в) цільова функція й праві частини обмежень лінійно залежать від двох незалежних скалярних параметрів або від того самого параметра,

г) цільова функція лінійно залежить від векторного параметра,

д) праві частини обмежень лінійно залежать від векторного параметра. Випадок залежності від параметрів матриці обмежень задач лінійного програмування досить складний і поки досліджений недостатньо.

Для випадку а), наприклад, рішення зазначених проблем 1) - 3) характеризується таким чином.

Нехай потрібно максимізувати

за умови

де .

Тоді існує така розбивка на кінцеве число відкритих ліворуч інтервалів: = (де інтервал необмежений ліворуч, необмежений праворуч, причому можливо випадок збігу одного з них с) , що при всіх відповідне задачі лінійного параметричного програмування розв'язна, причому на кожному інтервалі , вона має той самий базис.

Виключення можуть становити лише інтервали й , на яких цільова функція (2) може бути необмежена. Таким чином, у даній задачі множина можливих розв’язків являє собою об'єднання всіх за можливим виключенням і (або) .

Далі, оптимальне значення цільової функції на кожному , є опуклою кусково-лінійною функцією параметра . Чисельні методи вирішення однопараметричних завдань лінійного параметричного програмування являють собою модифікації симплексного методу; у випадку багатомірного простору параметрів доводиться залучати більше складні міркування.

Контрольні запитання

1. Що являє собою параметричне програмування?

2. В яких випадках використовується параметричне програмування?

3. Наведіть та проаналізуйте зміст задач параметричного програмування.

4. Які існують моделі задач параметричного програмування?

5. Які методи використовуються для розв'язування задач параметричного програмування?

Тема 10 «Нелінійне програмування»

План лекції

1. Загальна постановка задачі нелінійного програмування.

2. Класичні умови екстремуму. Метод множників Лагранжа.

3. Класичні методи оптимізації. ЗНП за умови невід’ємності змінних.

4. Задача нелінійного програмування і сідлова точка.

5. Умови Куна-Таккера для ЗНП. Теорема Куна-Таккера.

1. Загальна постановка задачі нелінійного програмування

Припущення про можливість описати залежності між керованими змінними за допомогою лінійних функцій далеко не завжди адекватно природі об'єкту, який моделюється. Наприклад, ціна товару вважається незалежної від кількості зробленого продукту, однак у повсякденному житті ми постійно зіштовхуємося з тим, що вона може залежати від обсягу партії товару. Аналогічні зауваження можуть бути зроблені й з приводу технологічних обмежень: видаток певних видів сировини й ресурсів відбувається не лінійно, а стрибкоподібно (залежно від обсягу виробництва). Спроби врахувати ці фактори приводять до формулювання більш загальних і складних оптимізаційних задач.

Вивчення методів їхнього рішення становить предмет наукової області, що одержав назву нелінійного програмування.

Загальна задача нелінійного програмування (ЗЗНП) визначаються як задача знаходження максимуму (або мінімуму) цільової функції f(x₁, х_2,..., x_n) на множині D, обумовленій системою обмежень

де хоча б одна з функцій f або g_i є нелінійною.

За аналогією з лінійним програмуванням ЗНП однозначно визначається парою (D, f) і стисло може бути записана в наступному виді

Також очевидно, що питання про тип оптимізації не є принциповим. Тому ми, для визначеності, надалі будемо розглядати задачу максимізації.

Як і в ЗЛП, вектор х* = (x₁^*,x₂^*,...,x_n^*) Î D називається припустимим планом, а якщо для будь-якого x Î D виконується нерівність f(x*) ≥ f(x), то х* називають оптимальним планом. У цьому випадку х* є точкою глобального максимуму.

З погляду економічної інтерпретації f(x) може розглядатися як дохід, що одержує фірма (підприємство) при плані випуску х, а g_i(х) ≤ 0 як технологічні обмеження на можливості випуску продукції. У цьому випадку вони є узагальненням ресурсних обмежень у ЗЛП (а_iх – b_i ≤ 0).

Задача (2.2) є досить загальною, тому що допускає запис логічних умов, наприклад:

або запис умов дискретності множин:

Набір обмежень, що визначають множину D, при необхідності завжди можна звести або до системи, що складається з одних нерівностей:

або, додавши фіктивні змінні в, до системи рівнянь:

Перелічимо властивості ЗНП, які істотно ускладнюють процес їхнього рішення в порівнянні із задачами лінійного програмування:

1. Множина припустимих планів D може мати дуже складну структуру (наприклад, бути неопуклою або незв'язною).

2. Глобальний максимум (мінімум) може досягатися як усередині множини D, так і на її границях (де вона, загалом кажучи, буде не збігатися з жодним з локальних екстремумів).

3. Цільова функція f може бути недиференційованою, що ускладнює застосування класичних методів математичного аналізу.

Тому задачі нелінійного програмування настільки різноманітні, що для них не існує загального методу рішення.