Тема 6 «злп з штучним базисом»

План лекції

1. Ідея симплексного методу розв'язування ЗЛП із штучною базою.

2. М-задача розв'язування ЗЛП.

3. Алгоритм розв'язання ЗЛП із штучною базою.

1. Ідея симплексного методу розв'язування злп із штучною базою

Попередній алгоритм симплекс-методу розглядався для випадків, коли в системі присутній повний одиничний базис, якому відповідає припустиме (а, виходить, і опорне) рішення. Однак так буває далеко не завжди.

Для того щоб використовувати симплекс-метод для розв’язання задачі, в цих випадках доводиться прибігати до прийому, що називається введенням штучного базису. Суть його полягає в тому, що в обмеження задачі штучно вводять трохи нових змінних з таким розрахунком, щоб отримана нова система рівнянь-обмежень уже мала повний одиничний базис, якому відповідає опорне рішення нової системи обмежень.

Потім вирішують задачу ЛП із новими обмеженнями й зі спеціально побудованою цільовою функцією (надалі будемо називати запропоновану задачу розширеною, або М-задачею стосовно вихідної задачі).

2. М-Задача розв'язування ЗЛП

Нехай потрібно знайти максимум функції

(1)

при обмеженнях:

(2)

, (3)

де й серед векторів

, , …

немає m одиничних.

Складемо до вихідної задачі розширену задачу ( М-задачу).

Потрібно визначити максимальне значення функції

при обмеженнях

,

де М — деяке досить велике позитивне число.

Змінні називаються штучними (як і вектори ). Кількість штучних векторів може бути від 1 до m залежно від наявності у вихідній задачі одиничних векторів.

Розширена задача має опорний план , у якому n-m нульових елементів, тому її розв’язок може бути знайдено симплекс-методом.

У процесі рішення штучні змінні виводяться з базису й, отже, приймають нульові значення в оптимальному плані. Значення цільової функції розширеної задачі в оптимальному плані (тобто при нульових значеннях штучних змінних) збігається зі значенням цільової функції вихідної задачі (1)-(3).

При опорному плані розширеної задачі (М-задачі) значення лінійної форми є

,

а значення оцінок .

Таким чином, і різниці складаються із двох частин, одна з яких залежить від М.

3. Алгоритм розв'язання злп із штучною базою

У процесі рішення розширеної задачі складають симплекс-таблицю, у якій після звичайного (m+1)-го рядка, де записуються оцінки, які не мають М, поміщають (m+2)-й рядок, де записують коефіцієнти при М.

При переході від одного опорного плану до іншого в базис вводять вектор, що відповідає найбільшому за абсолютною величиною від’ємному числу (m+2)-го рядка.

Штучний вектор, виключений з базису в результаті деякої ітерації, надалі не має змісту вводити ні в один з наступних базисів, і перетворення стовпців цього вектора зайві.

Перерахування симплекс-таблиці при переході від одного опорного плану до іншого роблять за загальними правилами симплексного методу по (m+2)-му рядку доти, поки:

а) всі штучні вектори не будуть виключені з базису. Після цього визначення оптимального плану продовжують по (m+1)-му рядку;

б) не всі штучні вектори виключені з базису, але при цьому в (m+2)-му рядку немає більше від’ємних значень. Тоді, якщо елемент, що знаходиться в (m+2)-му рядку стовпця , від’ємний, то задача не має рішення; якщо він дорівнює нулю, то знайдений опорний план вихідної задачі є виродженим і базис містить, принаймні, один з векторів штучного базису.

Контрольні запитання

1. Поясніть сутність прийому, що називається введенням штучного базису в ЗЛП.

2. Поясніть ідею симплексного методу розв'язування ЗЛП із штучною базою.

3. Які змінні в ЗЛП називаються штучними?

4. Яка задача називається М-задачею розв'язування ЗЛП?

5. Наведіть алгоритм розв'язання ЗЛП із штучною базою.