8. Математические модели аналоговых объектов.

Объекты диагноза условно можно разделить на три группы: непрерывные (аналоговые), дискретные и гибридные. В гибридных системах одни сигналы являются непрерывными, а другие – дискретными.

Для построения тестов и алгоритмов диагноза необходимо иметь формальное описание объекта и его поведение в исправном и неисправном состоянии. Такое формальное описание называют математической моделью объекта диагноза. Различают модели с явным и неявным описанием неисправностей. Явная модель объекта диагноза состоит из описания его исправной и всех неисправных модификаций. Неявная модель содержит описание исправного объекта, математические модели его физических неисправностей и правила получения по ним всех неисправных модификаций объекта. Выбор модели является внешним элементом процесса организации процедуры диагноза.

Аналоговыми называют объекты, входные внутренние и выходные координаты которых могут принимать значения из некоторых непрерывных множеств значений, и время отчитывается непрерывно.

Логические модели

В достаточно большом числе практических случаев техническое состояние аналоговых объектов можно оценить по принципу « в норме – не в норме» (годен – не годен). При этом используются модели логического типа и для их анализа применяют соответствующий математический аппарат. Исходными данными для построения логических моделей являются структурные, функциональные и принципиальные схемы объекта, системы алгебраических и дифференциальных уравнений, причинно – следственные связи между параметрами объекта. Основное достоинство логических моделей – их простота.

Для построения логической модели объекта каждый входной (выходной) сигнал блока , характеризуемый несколькими параметрами, представляют несколькими входами (выходами), число которых равно числу этих параметров. Так, если для блока внешний сигнал (рисунок 1) характеризуется двумя параметрами, внутренний сигнал - тремя, а выходной сигнал - двумя параметрами, то в логической модели блок будет иметь пять входов и два выхода (рисунок 2).

Затем каждый блок , имеющий выходов, заменяют блоками , каждый из которых имеет один выход и существенные для данного выхода (входы). В результате получим множество блоков логической модели, где N-число блоков.

Рисунок 1 – Логическая модель объекта Рисунок 2 – Логическая модель объекта

Значение входа (выхода) блока допустимо, если значение соответствующего ему параметра принадлежит области допустимых значений. В этом случае значение входа (выхода) обозначают цифрой 1, в противном случае – 0.

Если каждой входной переменной блока Б_i модели соответствует одно из двух значений 1 или 0, то его выходная функция F_i является булевой. Путем представления булевой функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме и ее дальнейшей минимизации, для каждого блока модели может быть получена совокупность существенных входов (переменные входящие в минимальную форму – существенные).

Значение выхода У_i блока Q_i логической модели зависит от того, имеется ли в блоке дефект, а также от значения реализуемой блоком функции F_i, т.к. y_i=Q_i·F_i. Если в блоке отсутствует дефект – Q_i=1, в противном случае Q_i=0.

Таблица 1

R- множество возможных состояний		Е- множество технических состояний
П множество проверок		1	0	1	1	1	1
		1	0	0	0	0	0
		1	1	1	0	0	0
		1	1	1	1	0	0
		1	1	1	1	1	0

Информация о состоянии объекта снимается с выходов блоков логической модели. Максимум информации можно получить в том случае, если контролируются выходы всех блоков. Однако при решении задач проверки работоспособности и даже поиска дефектов, в общем случае, нет необходимости проверять все выходы блоков. Во многих случаях есть возможность определить минимальное число выходов блоков модели, необходимых и достаточных для решения той или иной задачи диагностирования.

При работе с логической моделью предполагают, что на входы объекта поступает единственное входное воздействие, определяемое допустимыми значениями входных сигналов. Поэтому возможные элементарные проверки объекта могут различаться только составом контрольных точек. В этом случае задача построения алгоритма диагностирования сводится к выбору совокупности контрольных точек, достаточной или необходимой и достаточной (минимальной) для рассматриваемой задачи диагностирования.

Если объект многорежимный, т.е. предназначен для выполнения нескольких алгоритмов функционирования, в которых участвуют разные совокупности блоков и связей, то каждый режим (алгоритм) следует рассматривать отдельно, т.е. алгоритмы проверки работоспособности или поиска дефектов следует строить отдельно для каждого режима по соответствующей таблице дефектов, а затем полученные совокупности элементарных проверок объединить.

В тех случаях, когда объект не имеет явно выраженных функциональных блоков, построение его логической модели может вызвать затруднение. Кроме того, возможны ситуации, когда точные зависимости между параметрами объекта неизвестны, а известно лишь о влиянии одного параметра на другой или о зависимости одного параметра от другого.

Такого рода влияния и зависимости хорошо согласуются с понятием причинно-следственных связей, которые охватывают также строгие формальные зависимости между параметрами объекта.

Графом причинно-следственных связей называют ориентированный граф, вершинами которого являются параметры, а дуги отражают причинно-следственные связи между вершинами. Направление дуги соответствует направлению перемещения от причины к следствию.

Графы причинно-следственных связей применяют для представления различных электрических, механических, комбинированных (например электромеханических) устройств, механизмов, машин и различных технологических процессов.

Логическая модель объекта может трактоваться как граф причинно-следственных связей между входными, внутренними и выходными параметрами объекта. При этом вершины графа соответствуют входным параметрам объекта и выходным параметрам блоков модели, а дуги – связям блоков между собой и с внешними входами объекта.

Модели в виде систем дифференциальных уравнений, диаграммы прохождения сигналов

Свойства динамических аналоговых объектов определяются дифференциальными уравнениями (линейными и нелинейными).

	=
	=

где – линейный оператор порядка ; и – выходная и входная функции соответственно.

Использование линейных дифференциальных уравнений в качестве диагностической модели позволяет сформулировать условия работоспособности в виде ограничений на реакцию объекта при стандартном входном воздействии, изменении значений коэффициентов уравнений и, в общем случае, при перемещении полюсов и нулей на комплексной плоскости. Однако для построения моделей в этом случае необходимо знать большое число параметров объектов, которые на этапе проектирования с достаточной точностью получить не удается. В связи с этим на практике часто ограничиваются рассмотрением зависимостей (передаточных функций) между некоторыми, представляющими наибольший интерес, входами и выходами объекта.

В ряде случаев в качестве диагностической модели можно рассматривать характеристическое уравнение: , и анализировать только изменение коэффициентов или полюсов (i=1,n). Известно, что полюсы определяют характер изменения выходного сигнала во времени и величины собственных частот объекта, а нули определяют относительную величину составляющих выходного сигнала.

Если характеристическое уравнение высокого порядка, то с целью упрощения вычислений используют для анализа эквивалентное уравнение более низкого порядка. Для того, чтобы сохранить существующие связи между коэффициентами уравнений и параметрами объекта, эквивалентное уравнение получают «усечением», т.е. простым устранением ряда членов при условии эквивалентности по определяющим корням уравнения.