Залежність фазової швидкості хвилі від частоти називається дисперсією.

Дисперсія приводить до того, що при віддаленні від джерела хвильовий пакет змінює свою форму, він, так би мовити, «розпливається». Звичайно, групова швидкість, як інтегральна швидкість поширення хвильового пакета, відрізняти­меться від фазової.

Будемо шукати формулу для групової швидкості і формулу, яка зв’язує групову і фазову швидкості на прикладі одночасного поширення тільки двох хвиль із різними, але близькими частотами.

Рівняння першої хвилі:

Рівняння другої хвилі:

Зміщення частинки в даній точці в деякий момент часу, згідно з принципом суперпозиції, дорівнює сумі зміщень обох хвиль:

Формула нагадує формулу додавання двох гармонічних коливань із близькими частотами. Там амплі­туда сумарного коливання сама здійснювала гармонічні коливання, частота яких визначалась як різниця частот початкових коливань. Це була частота биття.

А тут амплітуда хвилі — це теж хвиля, частота якої дорівнює різниці частот , а хвильовий вектор дорівнює різниці хвильових векторів вихідних хвиль

Нагадаємо, що фазова швидкість дорівнює відношенню частоти до хвильового числа

Тому швидкість поширення амплітуди сумарної хвилі слід обчислювати, як відношення різниці частот до різниці хвильових векторів

Це і є групова швидкість хвилі. Оскільки

,

то можна показати, що

Це і є зв’язок фазової і групової швидкостей.

Якщо фазова швидкість не залежить від частоти , а це означає, що вона не залежить від довжини хвилі λ, то

і фазова швидкість дорівнює груповій - дисперсія відсутня.

Якщо , то - дисперсія нормальна,

Якщо , то - дисперсія аномальна.

Зауваження. Групова швидкість має ще й таке значення. У квантовій механіці вважається, що будь-яке рухоме матеріальне тіло по­водить себе у багатьох явищах як хвиля. Точніше, частинку можна уявити собі як рухомий ХВИЛЬОВИЙ ПАКЕТ, причому іс­тинна швидкість частинки дорівнюватиме груповій швидкості хвильового пакета.

ЕНЕРГІЯ ПРУЖНОЇ ХВИЛІ

У просторі, де поширюється пружна монохроматична хвиля, частинки середовища здійснюють гар­монічні коливання. Отже, можна говорити про кінетичну і потенціальну енергію коливання всіх частинок, які містяться в елементарному об’ємі .

Водночас через цей об’єм транзитом проходить енергія від джерела до хвильового фронту для залу­чення все нових частинок у процес коливань. Отже, можна казати про ПОТІК ЕНЕРГІЇ через довільну виділену площину на шляху цього потоку.

Густина енергії

Спочатку обчислимо повну механічну енергію. Сумарна кінетична енергія частинок, які містяться в елементарному об’ємі , дорівнює сумі кінетичних енергій:

.

Густина кінетичної або потенціальної енергії

Повна густина енергії дорівнює сумі густин енергій потенціальної й кінетичної

Густина енергії хвилі в даній точці здійснює гармонічні коливання з подвійною частотою.

Середнє за часом значення густини енергії за один період

.

Зауваження. Як і слід було сподіватися, середня повна енергія частинок, які містяться в одиниці об’єму, дорівнює повній енергії коливань, і вона є сталою.