Л-3.2 (2) Додавання коливань

ДОДАВАННЯ КОЛИВАНЬ

Векторна і показникова форми зображення коливань

Векторна форм

Використовується аналогія обертального і коливального руху. Вона полягає в тому, що рівняння руху для проекції обертового вектора збігається за формою з рівнянням гармонічних коливань.

Вектор R обертається зі сталою кутовою швидкістю (див. рисунок). За час t він повернеться на кут і проекція вектора на вісь xматиме вигляд:

Якщо в початковий момент часу вектор перебував під до вісі x, то

х= R cos ().

Це рівняння повністю збігається за формою з рівнянням гармонічних коливань:

х = A cos().

Коливання можна уявити у вигляді обертового вектора, довжина якого R дорівнює амплітуді коливань А, кутова швидкість обертання - циклічній частоті коливань , а початковий кут нахилу - початковій фазі коливань .

Показникова форма

За теоремою Ейлера для комплексних чисел:

Можна ввести поняття КОМПЛЕКСНЕ ЗМІЩЕННЯ :

) + iA sin().

Фізичне значення має тільки реальна частина комплексного зміщення, тобто істинне зміщення

х = Re () =).

Показникова форма використовується при розрахунках кіл змінного струму. Спочатку всі обчислення ведуться в комплексній формі, а потім відокремлюється дійсна частина.

Додавання коливань

Одне й те саме тіло може одночасно брати участь у кількох рухах. Наприклад, людина, яка їде в поїзді, здійснює коливання на м'якій лаві, а весь вагон здійснює коливання на власних ресорах.

Пригадавши ПРИНЦИПИ НЕЗАЛЕЖНОСТІ ДІЇ СИЛ, дійдемо висновку, що кожне коливання здійснюється незалежно від інших. Коли кажуть про додавання коливань, то розуміють під цим відшукання результуючого рівняння руху, або рівняння траєкторії.

ми розглянемо лише кілька найпростіших випадків.

Додавання двох коливань однокової частоти

Вихідні рівняння коливань:

x₁=A₁cos().

x₂=A₂cos().

Циклічна частота обох коливань однакова, а амплітуди і початкові фази різні. Для того щоб знайти рівняння руху результуючого коливання, зручно скористатися векторною діаграмою (див.рисуное). Уявимо обидва коливання у вигляді обертових з кутовою швидкістю векторів довжиною А₁ і А₂. Один відносно одного вектори нерухомі. Неважко зрозуміти, що різниця фаз коливань у будь-який момент часу буде сталою і дорівнюватиме різниці їхніх початкових фаз:

Коливання, різниця фаз яких залишається сталою з плином часу, називаються КОГЕРЕНТНИМИ ПОЛИВАННЯМИ.

Як видно з векторної діаграми, вектор А, що дорівнює геометричній сумі векторів А₁ і А₂, подає результуюче коливання, рівняння якого легко записати:

x=Acos().

Частота результуючого коливання, очевидно, дорівнює частоті вихідних коливань, бо вектор А обертається з тією самою кутовою швидкістю. Амплітуду результуючого коливання дістанемо згідно з теоремою косинусів:

Проаналізуємо цей вираз. Якщо різниця фаз вихідних коливань дорівнює нулю, то амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд:

Якщо коливання здійснюються в протифазі, тобто (то сумарна амплітуда дорівнює різниці цих амплітуд:

Якщо при цьому амплітуди вихідних коливань однакові, то сумарна амплітуда дорівнюватиме нулю, тобто коливання повністю загасять одне одного.

Початкову фазу результуючого коливання також легко обчислити (див. рисунок): .

Додавання двох коливань із близькими частотами

Рівняння вихідних коливань:

Амплітуди обох коливань однакові, початкові фази однакові, а частоти відрізняються на . Причому .

Складемо вихідні рівняння, скориставшись тригонометричними співвідношеннями для суми косинусів двох кутів:

У другому члені ми знехтували величиною порівнянно з . Співмножник змінюється з часом набагато повільніше, ніж , тому здобуте рівняння можна розглядати як рівняння гармонічного коливання частоти , амплітуда якого сама змінюється за гармонічним законом.

Це добре унаочнює рис. де зображено графік залежності зміщення від часу.

Такі коливання називаються БИТТЯМ. Амплітуда биття

.

Максимальне значення амплітуди биття дорівнює подвоєній амплітуді вихідних коливань . Частота зміни амплітуди биття дорівнює .

Биття - це окремий випадок так званої АМПЛІТУДНОЇ МОДУЛЯЦІЇ. Коливання називають амплітудно - модульованими, якщо амплітуда коливань не є сталою, а сама залежить від часу згідно з довільним законом. Рівняння амплітудно - модульованих коливань можна записати так:

Якщо амплітуда змінюється за періодичним законом, то частота зміни амплітуди називається ЧАСТОТОЮ МОДУЛЯЦІЇ (), а частота самих модульованих коливань - НЕСУЧОЮ ЧАСТОТОЮ ().

Швидкість зміни амплітуди має бути достатньо малою, щоб за час, що дорівнює періоду коливань, амплітуда майже не змінилась.

Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Нехай матеріальна точка одночасно бере участь у двох коливаннях однакової частоти, які відбуваються вздовж осей x i y. Рівняння вихідних коливань:

Амплітуди коливань різні, різниця початкових фаз дорівнює . У цьому разі рівняння результуючого коливання, тобто рівняння руху, вже задано і завдання полягає лише в тому, щоб знайти рівняння траєкторії. Для цього потрібно просто вилучити час із рівняння руху.

Виконавши це, дістанемо:

Як відомо, це рівняння еліпса, півосі якого не збігаються з напрямом осей координат. При зміні початкових амплітуд і різниці фаз можливі окремі випадки.

1а. Різниця фаз дорівнює нулю . Рівняння траєкторії набирає вигляду:

Траєкторія - пряма лінія, що проходить через початок координат. Вона нахилена до осі х під кутом тангенс якого дорівнює відношенню амплітуд

.

1б. Різниця фаз дорівнює нулю .

2. Різниця фаз Рівняння траєкторії набирає вигляду:

Це рівняння еліпса, зведене до координатних осей.

Довжина півосей еліпсу дорівнює амплітудам вихідних коливань (див. рисунок вище

Випадки відрізняються напрямом руху матеріальної точки по колу. У першому випадку випадку рух відбувається за годинниковою стрілкою, у другому - проти.

При додаванні коливань, частоти яких різні, траєкторія в загальному випадку не буде сталою. Сталими траєкторії виходять тоді, коли частоти вихідних коливань кратні:

Такі сталі траєкторії називають ФІГУРАМИ ЛІСАЖУ.

На рисунку нище наведено фігури Лісажу для відношення частот 2/1, 3/2 і 4/3. При цьому різниця фаз .