17. Задачі лінійного програмування

Загальну задачу лінійного програмування визначимо так: потрібно знайти значення х*1,х*2,...,хn* змінних x1,x2,...,xn, за яких досягається максимум (мінімум) функції

і які задовольняють систему лінійних обмежень

Один з варіантів задачі лінійного програмування взято за стандарт - канонічну форму задачі ЛП, тобто коли в системі обмежень усі bі (і = 1, m) невід'ємні: всі обмеження є рівностями, а n1 = n.

У найпростішому випадку, коли задача ЛП містить лише дві змінні, неважко отримати її геометричну інтерпретацію і розв'язати задачу графічним методом. Припустімо, що задача ЛП має такий вигляд:

Вважатимемо, що багатокутник розв'язків (область допустимих розв'язків) цієї задачі непорожній та обмежений. Тоді алгоритм графічного методу розв'язання задачі ЛП складається з таких кроків.

1. На основі обмежень задачі в площині змінних Ох1х2 будуємо прямі, рівняння яких мають вигляд аі1х1 + аі2х2 - bі = 0, і = 1,m.

2. Визначаємо ту частину площини, в якій виконується кожне з обмежень задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв'язків задачі.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання цільової функції.

5. Проводимо пряму clxl + c2x2 = const, перпендикулярно до вектора grad z.

6. Рухаючи пряму clxl + c2x2 = const у напрямку вектора grad z (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв'язків, де цільова функція набуває екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набуває максимального (мінімального) значення, й обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

18. Розв’язування задач планування виробництва, економічного аналізу, зміни запасів ресурсів та цін продукції на основі лінійного програмування

Задачі планування виробництва, економічного аналізу, зміни запасів ресурсів, як правило, пов’язані з цілими числами, особливо це стосується задач на виробництво продукції, що вимірюється у штуках.

Лінійне цілочислове програмування може розглядатися як важливий математичний інструментарій розробки управлінських рішень, оскільки існує доволі широке коло задач, в економіко-математичних моделях яких одна або кілька змінних мають набувати лише цілих значень.

Задачі лінійного цілочислового програмування мають загальну математичну постановку вигляду:

19. Задача про товарний портфель. Задача комівояжера

Задачі про «товарний портфель» та задачі «комівояжера» належать до основних задач лінійного цілочислового програмування.

Задача про «товарний портфель» застосовується при вирішені питань пов’язаних наприклад з розміщенням рекламних оголошень, вкладенням коштів у цінні папери, про використання транспортних засобів тощо.

Задача «комівояжера»- це окремий вид прикладних цілочислових задач, так звані задачі про прийняття або відхилення рішень, в яких змінні набувають значень тільки 0 або 1 (а саме задача про оптимізацію маршруту).

До задачі "комівояжера" зводиться також багато інших практично важливих задач: перевезення пошти або певних товарів у місті; перевірка або інспекція підприємств та установ; з'єднання пунктів лініями газопостачання або зв'язку тощо.

Модель опису цих задач є не складною, специфіка полягає в тому, що шукані значення повинні буди цілими числами.

Розглянемо приклад розв’язання задачі про «товарний портфель».

Припустімо, що треба перевезти предмети різних найменувань, причому кількість предметів одного найменування може повторюватися. Задано обмеження щодо кожної характеристики предметів (вага, об'єм тощо) вектором В = (bi)m та елементи матриці А = (аij), де aij означають i-ту характеристику предмета j-го найменування. Задані також елементи вектора С = (сj), де Cj - корисність від перевезення предмета j-ro найменування. Треба так організувати перевезення товару, щоб максимізувати загальну корисність рейсу. Нехай Xj - кількість предметів j-ro найменування, j = 1, n . Тоді математична модель задачі має такий вигляд: