Означення функції. Основні елементарні функції. Способи задання функції.
Означення обмеженої функції.
Означення монотонних функцій.
Неявне задані функції.
Обернені функції.
Параметрично задані функції.
Поняття числової послідовності.
Границя числової послідовності. Геометричний зміст.
Границя змінної величини. Геометричний зміст.
Поняття нескінченно великої величини і її властивості.
Поняття нескінченно малої величини і її властивості.
Означення границі функції на мові "послідовностей".
Означення границя функції на мові "ε-δ". Геометричний зміст границі.
Поняття односторонніх границь. Необхідна і достатня умова існування границі функції точці.
Теорема про границю суми, добутку і частки.
Теорема про границю проміжної функції.
Перша і друга чудові границі.
Поняття неперервності функції в точці.
Одностороння неперервність. Точки розриву І та II роду.
Теорема про неперервність суми, добутку, частки функції(доведення).
Теорема про неперервність складної функції. Теорема про неперервність елементарної функції.
Означення неперервної функції на інтервалі і на відрізку.
Теорема Больцано-Коші (перша). Геометричний зміст.
Теорема Больцано-Коші(друга).
Теорема Вейерштрасса.
Задача про швидкість прямолінійного руху.
Означення похідної функції в точці. Геометричний, механічний, економічний зміст похідної.
Поняття диференційованості функції в точці і на проміжку. Теорема про диференційованість і неперервність функції в точці.
Правила диференціювання суми, різниці, добутку і частки.
Поняття диференціала, геометричний зміст.
Властивості диференціала.
Похідні вищих порядків. Механічний зміст другої похідної.
Диференціали вищих порядків.
Теорема Ферма (доведення).
Теорема Ролля (доведення)
Теорема Коші (доведення).
Теорема Лагранжа (доведення).
Правило Лопіталя. Теорема 1,2. Зауваження 1,2.
Порівняння нескінченно малих функцій.
Вертикальні, горизонтальні, похилі асимптоти.
Теорема (ознаки монотонності функції, доведення).
Поняття локального екстремуму функції однієї змінної. Теорема (необхідна умова локального екстремуму, доведення).
Достатня умова локального екстремуму.
Поняття критичної точки.
Понятгя випуклості графіка. Теорема про випуклість графіка.
Поняття точки перегину. Теорема (необхідна умова точки перегину, доведення).
Теорема (достатня умова точки перегину, доведення).
Поняття функції кількох змінних, двох змінних. Способи завдання функції двох змінних. Поняття лінії рівня.
Границя функції двох змінних на мові «послідовностей», на мові «ε-δ».
Теорема про границю суми, добутку, частки функції двох змінних.
Поняття неперервної функції багатьох змінних. Властивості неперервних функцій двох змінних в замкненій обмеженій області.
Поняття частинних похідних. Геометричний зміст.
Частинні похідні другого порядку.
Поняття диференційованості функції. Теорема 1 (неперервність диференційованої функції. Доведення).
Теорема 2 (існування частинних похідних диференційованої функції). Теорема 3 (достатні умови диференційованості).
Повний диференціал функції.
Диференціали вищих порядків для функції багатьох змінних.
Скалярне поле. Похідна за напрямом.
Градієнт поля. Теорема (зв'язок між градієнтом і похідною за напрямом).
Властивості градієнта.
Невизначений інтеграл. Поняття первісної функції. Теорема про сукупність первісних (доведення).
Геометричний зміст невизначеного інтегралу.
Властивості невизначеного інтегралу.
Метод підстановки. Метод інтегрування частинами.
Задача про площу криволінійної трапеції.
Означення визначеного інтеграла. Геометричний зміст інтегральної суми.
Умови інтегрованості функції. Теореми 1, 2, 3, 4.
Властивості визначеного інтеграла.
Інтеграл із змінною верхнею межею. Теорема 1. Теорема 2. (Формула Ньютона-Лейбніца). __
Задача про дотичну
Задача про маргінальну вартість, доход та прибуток
Односторонні похідні
Закон природного зростання. найди
Зростання інвестицій. найди
Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.
Числові ряди. Загальні поняття.
Властивості числових рядів.
Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. Ознака Даламбера. Радикальна ознака Коші.
Означення знакопочережного числового ряду. Ознака Лейбніца.
Означення степеневого ряду. Теорема Абеля.
Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.
Відстань від точки до прямої
Вираження скалярного добутку за допомогою координат
Векторний добуток векторів…
Мішаний добуток векторів
Загальне рівняння площини та його дослідження
Кут між 2 площинами,умови паралельності і перпендикулярності
Дії над матрицями
Обернена матриця
Загальне рівняння прямої та її дослідження
Відстань між точками на площині
Поділ відрізка у заданому відношені
Властивості дослідження форми еліпса. Екцентриситет, директриси еліпса. Фокальні радіуси точки.
Означення матриці. Ранг матриці.
Матричний запис лінійних рівнянь
Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі
Метод координат. Положення точки на прямій
Прямокутна система координат на площині
Полярні координати. Залежність між прямокутними та полярними координатами.
Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Означення кола. Рівняння кола.
Означення еліпса. Канонічне рівняння еліпса.
Означення і канонічне рівняння гіперболи
Властивості дослідження форми гіперболи. Ексентриситет, директриси гіперболи.
Означення рівняння параболи. Дослідження форми параболи.
Прямокутна система координат у просторі. Означення вектора. Колінеарність векторів.
Проекція вектора на осі координат. Напрямні косинуси вектора.
Лінійні операції над векторами.
Означення та основні властивості скалярного добутку.
Рівняння площини, що проходить через 3 точки. Рівняння площини у відрізках на осях.
Загальне рівняння прямої у просторі
Канонічне рівняння прямої у просторі
Кут між двома прямими у просторі. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
Відстань від точки до прямої
Взаємне розташування прямої і площини
Формула трапеції
Обчислення площ плоских фігур.
Поняття невласного інтеграла. Невласний інтеграл І роду.
Невласний інтеграл II роду.
Теорема 1,2,3 (про збіжність невласних інтегралів І роду).
Теорема 4, 5, 6 (про збіжність невласних інтегралів II роду).
Диференціальні рівняння І порядку. Загальні поняття. Задача Коші. Теорема Коші.
Однорідні диференціальні рівняння І порядку.
Лінійні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі.
Означення диференціального рівняння II порядку. Рівняння, що дозволяють знизити , порядок
Ряд Тейлора, ряд Маклорена.
Означення радіуса збіжності степеневого ряду. Теорема про суму степеневого ряду. Теорема про інтегрування чи диференціювання степеневого ряду.
Поняття еластичності попиту
1.Означення функції. Основні елементарні ф-ії.Способи задання ф-ії
-якщо кожному числу x з деякої числової множини X за певним правилом поставлене у відповідність єдине число y,то кажуть, що y- функція від х ,де х- аргумент,незалежна змінна, y- залежна змінна,ф-ія.Іноді у означенні ф-ії припускають,що одному значенню аргумента відповідає не одне, а кілька значень ф-ії або навіть нескінченна множина значень у.У цьому випадку ф-ію називають багатозначною.
Основні елементарні ф-ії , а також ф-ії ,утворені за допомогою формул, в яких над основними елементарними ф-ями виконується лише скінченне число арифметичних операцій(додавання,множення..)і суперпозицій наз. елементарними.
Основні елементарні функції
1.Степенева
2.Показникова
3.Логарифмічна
(мал. 3.7)
4.Тригонометрична
5.Обернені
тригонометричні
Рис. 3.10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17-1
17-2
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27-1
28-1
28-2
29
30
34-2
31
32
33
34
35
36
37
38-1
38-2
39 Порівняння нескінченно малих функцій
Аналітична геометрія - розділ математики, в якому властивості геометричних об’єктів вивчаються засобами алгебри на основі методу координат. Основоположником аналітичної геометрії вважають Декарта,який вперше в 1637 році у своїй книзі «Геометрія» дав чіткий виклад ідеї методу координат на площині. Декарт запропонував положення точки на площині відносно заданої системи координат визначати за допомогою 2 чисел - її координат, а кожну лінію на площині розглядати як множину точок,заданих певною геометричною умовою. Ця умова записується у вигляді рівняння,що зв’язує змінні координати точок,що належать даній лінії назив. рівнянням цієї лінії. Такий спосіб дослідження геометричних об’єктів і називається методом координат.
Положення точки на прямій визначається числом, що називається координатою цієї точки. Приклад : точка А має координату -1,5, точка В - координату 3. Пишуть: А(-1,5), В(3).
40
41
42
43
44
44-2
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
70. Задача про дотичну
71.Задача про маргінальну вартість. доход та прибуток.
72.Односторонні похідні
73.Закон природного зростання
74.Зростання інвестицій
75.
76
77
78
79
80
81. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.
Нехай маємо l1 та l2, що задані рівняннями: y=k1x + b1 (k1=tgα1); y=k2x + b2 (k2=tgα2).
Нехай кут β – кут між цими прямими. Оскільки β=α2 – α1 , то tg β=( α2 – α1)=( tgα2 –tg α1)/(1+ tgα2 * tgα1)=( k2 - k1)/(1+ k2 * k1) - кут між двома прямими (1). Ця формула визначає один з кутів між прямими l1 та l2. β 1=π-β. З рівняння (1) можна одержати відношення між кутовим коефіцієнтом паралельних і перпендикулярних прямих. Якщо l1 парал. l2 то α2 = α1 , β=0, tg β=0, k2= k1.
Якщо l1 перпен. l2 , то k2 =-1/ k1 .
82. Відстань від точки до прямої.
Якщо пряма задана
загальним рівнянням Ах+Ву+С=0, то відстань
від т. М0
(х0;
у0)
до цієї прямої визначається за формулою
.
83. Вираження скалярного добутку за допомогою координат
Нехай функція f(x)
визначена в точці
і даному околі цієї точки функція f(x)
називається неперервною якщо її значення
дорівнює 0.
Можна дати ще одне означення неперервності функції опираючись на поняття приростів аргументу. Якщо нескінченно малому прирісту аргументу х в точці х = х0 відповідає нескінченно малий приріст у функції, що визначена в точці х0 та в її околі, то функцію у = (х) нази¬вають неперервною при х = х0 або в точці х0.
Різниця х-х0 називається приростом аргументу в т. х0
Різниця відповідних значень функції f(x)-f(x0) називається приростом функції в т. х0.
- попарно ортогональні орти, то
2=
2=
2=1,
·
=
=
·
=0,
тому 
·
=
ахbx
+ ayby
+ azbz
.
Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат.
Висновки з отриманого:
ахbx + ayby + azbz=0- умова перпендикулярності векторів.