4. Прогнозирование рынка методом экономика - математического моделирования

Экономико-математическое моделирование (ЭММ) в современных условиях все шире используется не только для описания отдельных сторон сложных природных, технических, социальных, экономических и иных явлений, но и для эффективного прогнозирования развития этих явлений в перспективе.

Для прогнозирования рынка могут быть успешно использованы различные виды математических моделей, способных отразить сложные взаимосвязи элементов рынка и влияющих на него факторов. Такие модели, называемые многофакторными (мультифакторными), имеют в основном форму линейных, степенных, логарифмических уравнений.

Приведем в качестве примера наиболее простое из них (и наиболее часто используемое на практике) линейное уравнение множественной регрессии:

,

где Y — прогноз спроса (возможной продажи); х₁, х₂, ... ,х_n — факторы, влияющие на развитие рынка; а₀, а₁, а₂, ... ,а_n — параметры уравнения.

Выбрать то или иное уравнение регрессии — это еще не значит построить модель. Для того чтобы построить многофакторную модель, пригодную для прогнозирования рынка, нужно как минимум выполнить следующие работы.

1. Выявить важнейшие факторы, влияющие на развитие рынка.

2. Определить степень влияния выделенных факторов на результативные показатели рыночного процесса, отобрать из них наиболее существенные и сильнодействующие.

3. Разработать математическую форму модели, учитывающую одновременное влияние всех отобранных факторов.

4. Определить состав необходимой исходной информации, характеризующей фактическую динамику развития рынка и влияющие на него факторы, включенные в модель.

5. Организовать и реализовать сбор исходной информации в необходимом для построения модели объеме, обеспечить ее ввод в ЭВМ, подобрать и адаптировать типовые компьютерные программы.

6. Рассчитать математические параметры модели.

7. Провести оценку прогностической ценности модели путем определения величины возможной ошибки прогноза.

8. Рассчитать прогнозные значения возможной продажи товаров.

ЭММ, несомненно, является наиболее современным и прогрессивным методом прогнозирования, пригодным для расчета любых прогнозов в любой области знаний и на любую перспективу. Довольно-таки высокая сложность расчетов при правильном подборе типа многофакторной модели и определении ее параметров при современном уровне развития компьютерной техники не составляет проблемы. Проблема заключается в другом.

С одной стороны, чем больше факторов будет учтено при построении модели, тем адекватнее будет последняя и точнее получится рассчитанный с ее помощью прогноз. Но, с другой стороны, чем больше факторов (х) включается в модель, тем больше должно быть число периодов динамического ряда фактических значений каждого из этих факторов (n). В реальных условиях собрать такую информацию бывает очень сложно или просто невозможно.

Существенным недостатком использования ЭММ является также то, что включить в модель можно только те факторы, которые могут быть подвергнуты количественному измерению. Такие качественные факторы, как мода, уровень культуры и образования, национальные и иные особенности, в математической модели учесть практически невозможно, хотя они и оказывают весьма существенное влияние на формирование покупательского спроса.

В силу этих и некоторых других причин в современных условиях многофакторные модели рынка используют в основном для научных целей, для расчета глобальных прогнозов на высоком уровне обобщения явлений. В практике коммерческих организаций и предпринимательских фирм для прогнозирования рынка (спроса) в основном применяются одно- двухфакторные модели, в которых учитывается наиболее сильнодействующий фактор (цены, доходы населения, демографические показатели) и тенденция его изменения во времени. Например:

,

где Y — прогноз спроса (возможной продажи); х — фактор, влияющий на спрос; t — время; а₀, a₁, a₂ — параметры модели.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 6. Имеются следующие данные по объему сбыта предприятия (табл. 70):

Таблица 70

Данные для анализа

Год	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Объем сбыта (млн. руб.)	13,5	14,2	13,7	15,0	12,7	14,9

Необходимо дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используя аналитическое выравнивание ряда динамики.

Решение. Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение прямой: . Параметры уравнения находим по формулам:

; ,

где n – число уровней, у нас n=6. Решение проведем в таблице 71.

Таблица 71

Год	Объем сбыта (млн. руб.), у	t	t2	yt
2003	13,5	-5	25	-67,5	13,75	-0,25	0,0625
2004	14,2	-3	9	-42,6	13,85	0,35	0,1225
2005	13,7	-1	1	-13,7	13,95	-0,25	0,0625
2006	15,0	+1	1	15,0	14,05	0,95	0,9025
2007	12,7	+3	9	38,1	14,15	-1,45	2,1025
2008	14,9	+5	25	74,5	14,25	0,65	0,4225
Итого						=0	= 3,675

Подставляя значения из таблицы получает: .

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: . Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, равные -5,-3,-1,+1,+3,+5, находим выровненные уровни . Проверяем условие . Оно верно, что свидетельствует о правильности найденных значений уровней выровненного ряда. Фактические значения объема сбыта представим в виде графика на рис. 15.

Рис. 15. Фактические значения объема сбыта

Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении объема сбыта.

Построим расчетные (выровненные) значения на рис. 16.

Рис. 16. Выровненные значения объема сбыта

Полученное уравнение согласуется с показателями машинного тренда и показывает, что с 2003 по 2008 год наблюдалась тенденция увеличения сбыта в среднем на 0,05 млн. руб. Однако это высказывание не устанавливает: рост продаж обусловлен ростом профессионализма маркетологов или ростом цен на товары.

Пример 7. По данным предыдущей задачи провести экстраполяцию значений сбыта.

Решение. Определим ожидаемый объем сбыта в 2009 году, подставив в уравнение значение t=7. Тогда млн. руб. Это точечная оценка прогнозируемого значения.

Найдем интервальную оценку при доверительной вероятности 0,95. Для определения границ интервалов используем формулу:

,

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента; - остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда ( , где n – число уровней ряда динамики; m – число параметров адекватной модели тренда (для уравнения прямой m=2)).

В нашем случае тогда интервальная оценка:

Следовательно, с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что объем сбыта в 2009 году будет не менее 12,136 млн.руб. и не более 16,564 млн.руб.

Пример 8. Определим прогноз развития рынка бытовой техники в регионе Х по данным таблицы 72.

Таблица 72

Объем регионального рынка продаж бытовой техники за период 2003 - 2008 гг.

Год	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Объем рынка (млн.$)	190	270	510	900	1300	1780

Примем: y -объем телевизионной рекламы;x – рассматриваемый период; a-объем рекламы при нулевом периоде (x=0); b- ежегодный прирост. Для расчетов трендовых величин составим таблицу 73.

Таблица 73

Расчетная таблица

Год	Объем рынка(y)	x	x	xy	y
2003	190	-5	25	-950	8,5
2004	270	-3	9	-810	335,1
2005	510	-1	1	-510	661,7
2006	900	+1	1	900	988,3
2007	1300	+3	9	3900	1314,9
2008	1780	+5	25	8900	1641,5
Σ	4950	0	70	11430	4950
2009		+7			1968,1
2010		+9			2294,7
2011		+11			2621,3

Полученные значения подставим в формулы для нахождения a и b:

а= 4950/6=825, b=11340/70=163,3. Следовательно, линейное уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: y Подставляя в данное уравнение последовательно значения x, равные: -5,-3,-1,+1.+3,+5, находим выровненные уровни y

y (2003)= 825+163,3*(-5)=825-816,5= 8,5

y (2004)= 825+163,3*(-3)=825-489,9= 335,1

y (2005)= 825+163,3*(-1)=825-163,3= - 661,7

y (2006)= 825+163,3*1=988,3

y (2007)= 825+163,3*3=825+489,9=1314,9

y (2008)= 825+163,3*5=825+816,5=1641,5

В данном случае Σy=Σyx=4950

Следовательно, значения уровней выровненного ряда найдены верно.

Для прогнозирования объемов регионального рынка необходимо продолжить рассматриваемый период (x) числами, следующими за указанным числом. В данном случае – это 5, далее рассматриваемый период будет 7, 9, 11. Следовательно, величина прогноза развития рекламного рынка телевизионной рекламы определится как:

y (2009)= 825+163,3*7=825+1143,1=1968,1

y (2010)= 825+163,3*9=825+1469,7= 2294,7

y (2011)= 825+163,3*11=825+1796,3= 2621,3

Таким образом, можно предположить, что к 2011 году региональные продажи бытовой техники могут составить около 2700 млн. дол. при среднем темпе инфляции, если не учитывать фактор насыщения ею и появление товаров заменителей.

Пример 9. Прогнозирование по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны. Для выравнивания зависимости может использоваться парабола второго порядка:

.

Значения b₀ и b₁ идентичны параметрам используемым в линейном тренде. Параметр b₂ характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени). При b₂0 происходит ускорение развития, при b₂0 идет процесс замедления роста.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы имеет вид:

Решив систему уравнений, определим значения параметров параболы второго порядка (таб. 74).

Таблица 74

Выравнивание по прямой объема выручки

Квартал	Выручка, тыс. руб.	t	t2	yt	yt2	yi-yt	(yi-yt)2	t4	yt
I	500	-1,5	2,25	-750	562500	-5	25	5.063	495
II	580	-0,5	0,25	-290	84100	-5	25	0.063	585
III	670	0,5	0,25	335	112225	-5	25	0.063	675
IV	770	1,5	2,25	1155	1334025	5	25	5.063	765
ИТОГО:	2520	0	5	450	209250	0	100	10.252	2520

По данным таблицы 74 составим систему уравнений:

4 b₀ + 5b₂ = 2520;

5b₁ = 450;

5b₀ + 10.252b₂ = 209250.

Решая систему уравнений, определим значения параметров уравнения: b₀ = 558,2; b₁ = 90; b₂ = 57,41

Уравнение нелинейного тренда выглядит следующим образом:

у = 558,2 + 90t + 57,41t^2.

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления определяются как (y_t – t_aS)< y_np < (y_t + t_aS), где t_a – коэффициент доверия по распределению Стьюдента; S – остаточное среднеквадратическое отклонение от тренда:

.

На основании данных таблицы 74 при доверительной вероятности 0,95 и уровне значимости 0,05, коэффициент доверия t_a = 2,306 (по таблице Стьюдента)

По данным таблицы 74 и уравнения тренда у = 558,2 + 90t + 57,41t², при t = 6,7определим ожидаемый объем выручки на I-й и II-й кварталы 2009 года.

Y_I/2009 = 558,2 + 90*6 + 57,41*36 = 3164,96 тыс. руб.;

Y_II/2009 = 558,2+ 90*7 + 57,41*42 = 3629,42 тыс. руб.

Определим вероятностные границы разброса прогнозируемого значения:

а) по I кварталу 2009 г.: 3164,96 – 2,306*7,071< y_{np I/2009}< 3164,96 + 2,306*7,071 или 3148,65< y_{np I/2009} < 3181,266;

б) по II кварталу 2009 г.: 3629,42 – 2,306*7,071 < y_{np II/2009} < 3629,42 + 2,306*7,071 или 3613,11 < y_{np II/2009} < 3645,72.

Следовательно, с вероятностью в 0,95 можно утверждать, что объем выручки в первом квартале 2009 г. будет не менее 3148,65 тыс. руб., но и не более 3181,266 тыс. руб., а во втором – не менее 3613,11 тыс. руб., но и не более 3645,72 тыс. руб.

Пример 10. Для того чтобы выяснить, как сумма покупки зависит от уровня дохода покупателя, и как изменится сумма покупки при увеличении или уменьшении доходов покупателей в магазине детских товаров было проведено исследование. Для этого, из 250 покупателей было опрошено 100 человек. Минимальная сумма покупки составила 300 рублей, а максимальная – 3300 рублей, при этом минимальный доход на 1 человека равен 3 тыс. рублей, а максимальный – 40 тыс. рублей. Чтобы выяснить, существует ли связь между суммой покупки и уровнем дохода, можно использовать корреляционно-регрессионный анализ, который заключается в количественном определении тесноты связи и в определении теоретического выражения связи между признаками, то есть в построении уравнений регрессии.

Для изучения показателей, полученных в результате опроса, их необходимо сгруппировать. Согласно формуле Стерджеса величина интервала равна k = x_max – x_min / (1 + 3,322lg n).

Для суммы покупки k = (3,3 – 0,3) / (1 + 3,322lg 100) ≈ 0,4 (тыс. руб.).

Для уровня дохода k = (40 – 3) / (1+3,322lg 100) ≈ 5 (тыс. руб.).

Результаты опроса покупателей запишем в таблицу 75.

Таблица 75

Результаты опроса покупателей.

Сумма чека, тыс. руб. Уровень дохода, тыс. руб.	0,1-0,5	0,5-0,9	0,9-1,3	1,3-1,7	1,7-2,1	2,1-2,5	2,5-2,9	2,9-3,3	Итого
0,5-5,5	4		1						5
5,5-10,5	1	4		3					8
10,5-15,5	1		5	10					16
15,5-20,5			5	10					15
20,5-25,5			5		20				25
25,5-30,5					16		2		18
30,5-35,5						4	2	2	8
35,5-40,5								5	5
Итого	6	4	16	23	36	4	4	7	100

Предположим, что между показателями существует линейная корреляционная зависимость. Для того чтобы проверить это предположение, а также выявить тесноту и направление связи между показателями, нужно найти уравнения прямых регрессий, вычислить коэффициент корреляции и оценить его значимость. Используя полученное уравнение регрессии, можно будет рассчитать среднюю сумму покупки в зависимости от уровня дохода покупателя.

Вычисляем середины интервалов по переменной Х:

х₁ = 3; х₂ = 8; х₃ = 13; х₄ = 18; х₅ = 23; х₆ = 28; х₇ = 33; х₈ = 38.

Середины интервалов по переменной Y:

y₁ = 0,3; y₂ = 0,7; y₃ = 1,1; y₄ = 1,5; y₅ = 1,9; y₆ = 2,3; y₇ = 2,7; y₈ = 3,1.

Групповые средние x_j и y_i вычисляются по формулам:

x_j = 1 / n_j x ∑x_i x n_ij и y_i = 1 / n_i x ∑y_j x n_ij

х₁ = (3∙4 + 8 + 13) / 6 = 5,5;

х₂ = 4∙8 / 4 = 8;

х₃ = (3 + 13∙5 + 18∙5 + 23∙5) / 16 = 17,06;

х₄ = (8∙3 + 10∙13 + 10∙18) / 23 = 14,52;

х₅ = (20∙23 + 16∙28) / 36 = 25,22;

х₆ = 33∙4 / 4 = 33;

х₇ = (28∙2 + 33∙2) / 4 = 30,5;

х₈ = (33∙2 + 38∙5) / 7 = 36,57;

у₁ = (0,3∙4 + 1,1) / 5 = 0,46;

у₂ = (0,3 + 0,7∙4 + 1,5х3) / 8 = 0,95;

у₃ = (0,3 + 1,1∙5 + 1,5∙10) / 16 = 1,3;

у₄ = (1,1∙5 + 1,5∙10) / 15 = 1,37;

у₅ = (1,1∙5 + 1,9∙20) / 25 = 1,74;

у₆ = (1,9∙16 + 2,7∙2) / 18 = 1,99;

y₇ = (2,3∙4 + 2,7∙2 + 3,1∙2) / 8 = 2,6;

y₈ = 5∙3,1 / 5 = 3,1.

Вычисляем выборочные характеристики по формулам:

x = 1/n ∑ x_i n_i = 1/100 (3∙5 + 8∙8 + 13∙16 + 1815 + 23∙25 + 28∙18 + 33∙8 + 38∙5) = 2090 / 100 = 20,9;

x² = 1/n ∑ x_i ² n_i = 1/100 (3²∙5 + 8²∙8 + 13²∙16 + 18²∙15 + 25∙23² + 18∙28² + 33²∙8 + 38²∙5) = 513,9;

y = 1/n ∑ y_j n_j = 1/100 (0,3∙6 + 0,7∙4 + 1,1∙16 + 1,5∙23 + 1,9∙36 + 2,3∙4 +2,7∙4 + 3,1∙7) = 1,668;

y² = 1/n ∑ y_j ² n_j = 1/100 (0,3²∙6 + 0,7²∙4 + 1,1²∙16 + 1,5²∙23 + 1,9²∙36 + 2,3²∙4 + 2,7²∙4 + 3,1²∙7) = 3,21;

xy = 1/n ∑∑ x_iy_j n_ij = 1/100 ( 3(4∙0,3 + 1,1) + 8(0,3 + 4∙0,7 + 3∙1,5) + 13(0,3 + 1,1∙5 + 1,5∙10) + 18(5∙1,1 + 10∙1,5) + 23(5∙1,1 + 1,9∙20) + 28 (1,9∙16 + 2∙2,7) + 33 (4∙2,3 + 2∙2,7 + 3,1∙2) + 38∙5∙3,1) = 39,854.

Выборочная дисперсия переменной Х равна s_x² = x² – x² = 513,9 – 20,9² = 77,09.

Выборочная дисперсия переменной Y: s_y² = y² – y² = 3,21 – 1,668² = 0,43.

Выборочная ковариация: μ = xy – x y = 39,854 – 20,9∙1,668 = 4,9928.

Выборочный коэффициент регрессии измеряет среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения. Выборочный коэффициент регрессии Y по X равен: ρ_yx = μ / s_x² = 4,9928 / 77,09 = 0,065, то есть, при отклонении суммы дохода на 1 тыс. рублей от средней величины, сумма покупки отклоняется от своего среднего значения на 65 рублей, а так как коэффициент регрессии имеет положительное значение, то между признаками прямая зависимость.

Выборочный коэффициент регрессии Х по Y: ρ_xy = μ / s_y² = 4,9928 / 0,43 = 11,61, следовательно, при отклонении средней суммы покупки от среднего значения на 1 тыс. рублей, сумма дохода отклоняется от своего среднего значения на 11 610 рублей.

Следовательно, уравнения прямых регрессии имеют вид:

Y по Х: y – y = ρ_yx (x – x), y – 1,668 = 0,065 (х – 20,9),

у = 0,065х + 0,31.

Х по Y: х – х = ρ_xy (у – у), х – 20,9 = 11,61 (у – 1,668),

х = 11,61у + 1,5345.

Используя полученные уравнения регрессии можно определять среднее значение результативного признака, если известно значение факторного признака. Например, средняя сумма покупки человека, доход которого составляет 21 тыс. руб. будет равна:

у = 0,065х + 0,31 = 0,065 ∙ 21 + 0,31 = 1,675 (тыс. руб.).

Чтобы оценить степень тесноты взаимосвязи между переменными, рассчитаем коэффициент корреляции r. Его можно найти из условия: r² = ρ_yx∙ ρ_xy = ρ_yx ρ_xy = 0,065 ∙ 11,61 ≈ 0,8687.

Для того, чтобы оценить значимость коэффициента корреляции на уровне α = 0,05 по критерию Стьюдента вычисляем статистику по формуле:

Критическое значение статистики t _1–α;k ( с k = n – 2 степенями свободы) определяется по таблице значений критерия Стьюдента: t _0,95;98 ≈ 1,99.

Так как t = 17,3626 › 1,99, то коэффициент корреляции между уровнем дохода и суммой покупки значимо отличается от 0 на уровне значимости α = 0,05. Таким образом, между доходом покупателя и суммой покупки имеется высокая степень зависимости, а так как с увеличением суммы дохода происходит увеличение суммы покупки, то корреляционная связь – прямая.

Рассмотрим подробнее данные (табл. 76), характеризующие сумму покупки.

Таблица 76

Данные о суммах покупок.

Сумма чека	0,1-0,5	0,5-0,9	0,9-1,3	1,3-1,7	1,7-2,1	2,1-2,5	2,5-2,9	2,9-3,3	Итого
Кол-во покупателей	6	4	16	23	36	4	4	7	100

Графически данные можно представить в виде гистограммы (рис. 17).

Рассчитаем выборочную среднюю, отражающую типичный уровень суммы покупки

Выборочная средняя рассчитывается по формуле: x = ∑x_i n_i / n, где x_i – середины соответствующих интервалов, n_i – соответствующие частоты.

x = (0,3х∙6 + 0,7∙4 + 1,1∙16 + 1,5∙23 + 1,9∙36 + 2,3∙4 + 2,7∙4 + 3,1∙7)/100 = 1,668 (тыс. руб.), то есть, в среднем сумма покупки составила 1668 рублей.

Для характеристики вариации рассчитывается также средние отклонения вариантов признака от средней величины признака: среднее квадратическое отклонение – корень из среднего квадрата отклонений вариантов признака от средней арифметической величины признака:

s = √ ∑(x_i – x)² n_i / n = √ (1,668 – 0,3)²∙6 + (1,668 – 0,7)²∙4 + (1,668 – 1,1)²∙16 + (1,668 – 1,5)²∙23 + (1,668 – 1,9)²∙36 + (1,668 – 2,3)²∙4 + (1,668 – 2,7)²∙4 + (1,668 – 3,1)²∙7)/100 = 0,6553 (тыс. руб.), то есть среднее отклонение вариантов сумм покупок от средней суммы покупки (1668 руб.) составило 655 рублей 30 копеек.

Рис. 17. Данные о суммах покупок.

Дисперсия – средний квадрат отклонений вариантов признака от средней арифметической величины признака – определяется по формуле:

s² = ∑(x_i – x)² n_i / n = 0,6553² = 0,4294.

Данные исследования 100 покупателей распространяются на 250 человек с учетом предельной ошибки выборки. Для средней величины формула расчета предельной ошибки выборки - ∆_х = t √ (s² / n) x ( 1 – n / N)

По таблице значений функции Лапласа Ф(t) при γ = 0,9545, t = 2,

∆_х = 2 √ 0,4294/100 (1 – 100/250) = 0,1015.

Интервальная оценка генеральной средней может быть представлена как: х - ∆_х ≤ х ≤ х + ∆_х , 1,668 – 0,1015 ≤ х ≤ 1,668 + 0,1015, то есть с вероятностью 95,45% средняя сумма покупки всех 250 покупателей заключена в границах от 1567 до 1770 рублей.

Рассмотрим форму распределения суммы покупки. Анализировать эмпирическую кривую, на изменения которой повлияли, в том числе и случайные условия, трудно. Поэтому попробуем перейти к теоретической кривой распределения, отражающей основную закономерность распределения признака при полном погашении случайных причин. Форма распределения, при которой при росте варьирующего признака в вариационном ряде частоты сначала растут, затем, достигнув максимального значения, начинают снижаться, характерна для нормального распределения. Нормальное распределение – закономерность, чаще всего используемая в статистике, оно строго симметрично и характеризуется равенством средней арифметической, моды и медианы. Для того чтобы сделать вывод о соответствии фактического распределения теоретическому распределению определим меру расхождения эмпирических и теоретических частот, то есть вычислим статистику χ² .

Критерий согласия Пирсона (χ²) определяется по формуле:

χ² = ∑ (n_i – np_i)²/np_i .

Расчет χ² представлен в таблице 77.

Таблица 77

Расчет критерия согласия Пирсона (χ²).

[xi;xi+1]	ni	αi	βi	Ф(αi)	Ф(βi)	pi	npi	(ni-npi)2	(ni-npi)2 /npi
0,1-0,5	6	-2,3928	-1,7824	-0,9832	-0,9249	0,0292	2,92	9,4864	3,249
0,5-0,9	4	-1,7824	-1,172	-0,9249	-0,758	0,0835	8,35	18,9225	2,266
0,9-1,3	16	-1,172	-0,5616	-0,758	-0,4245	0,1668	16,68	0,4624	0,028
1,3-1,7	23	-0,5616	0,0488	-0,4245	0,0399	0,2322	23,22	0,0484	0,002
1,7-2,1	36	0,0488	0,6592	0,0399	0,4907	0,2254	22,54	181,1716	8,038
2,1-2,5	4	0,6592	1,2696	0,4907	0,7959	0,1526	15,26	126,7876	8,308
2,5-2,9	4	1,2696	1,8801	0,7959	0,9392	0,0717	7,17	10,0489	1,402
2,9-3,3	7	1,8801	2,4905	0,9392	0,9872	0,024	2,4	21,16	8,817
∑	100					0,9854	98,54		32,11

Для нахождения вероятностей p_i попадания значений случайной величины X в интервал [x_i; x_i+1], где 1 ≤ i ≤ 8, вычисляем предварительно значения аргументов α_i и β_i и значение функции Лапласа Ф(α_i), Ф(β_i) в этих точках:

p_i = p(x_i ≤ X ≤ x_i+1) ≈ ½ [Ф(β_i) - Ф(α_i)] = ½ [ Ф((x_i+1 – х)/s) – Ф ((x_i – х)/s)]

χ² = 3,249 + 2,266 + 0,028 + 0,002 + 8,038 + 8,308 + 1,402 + 8,817 = 32,11.

Для уровня значимости α = 0,05 по таблице χ²- распределения находим критическое значение χ²_{α, k} при числе степеней свободы k = l – s – 1. Так как число интервалов l = 7, а нормальный закон распределения определяется s = 2 параметрами, то число степеней свободы k = 8 – 2 – 1 = 5. Соответствующее критическое значение статистики χ² по таблице χ²_0,05;5 = 11,1. Так как 32,11 > 11,1, то гипотеза о том, что количество покупателей распределено по нормальному закону распределения, отвергается. Следовательно, для данного случая нельзя использовать свойства нормального распределения.

С целью выявления основной тенденции (тренда) развития явления используют также методы сглаживания рядов динамики. Построим тренд, характеризующий взаимосвязь количества покупателей и суммы покупки. Простейшей моделью, выражающей тенденцию развития, является линейная функция тренда: y = at + b. Параметры данного уравнения можно найти с помощью метода наименьших квадратов по табл. 78.

Таблица 78

Выравнивание по прямой количества покупателей.

Сумма чека	yi	t	t2	yiti	yt	yi - yt	(yi – yt)2
0,1-0,5	6	-7	49	-42	13,165	-7,165	51,337
0,5-0,9	4	-5	25	-20	12,975	-8,975	80,551
0,9-1,3	16	-3	9	-48	12,785	3,215	10,336
1,3-1,7	23	-1	1	-23	12,595	10,405	108,264
1,7-2,1	36	1	1	36	12,405	23,595	556,724
2,1-2,5	4	3	9	12	12,215	-8,215	67,486
2,5-2,9	4	5	25	20	12,025	-8,025	64,401
2,9-3,3	7	7	49	49	11,835	-4,835	23,377
∑	100	0	168	-16	100	0	962,476

Параметры функции определяются из системы уравнений:

a ∑t_i² + b∑t_i = ∑t_iy_i,

a∑t_i + bn = ∑y_i.

1 68a + b∙0 = -16,

a∙0 + b8 = 100. Решая уравнение получим: а=-0,095, b=12,5.

Коэффициент а характеризует уменьшение количества покупателей, приходящееся на величину интервала суммы покупки. Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель функции (тенденции изменения количества покупателей), будет иметь вид: y = 12,5 – 0,095t.

Определим вероятностные границы интервала прогнозируемого количества покупателей: (y_t – t_aS) ≤ y_пр ≤ (y_t + t_aS). S – остаточное среднеквадратическое отклонение от тренда рассчитывается по формуле:

S = √∑(y_i – y_t)² / (n - 2) = √ 962,476 / (8 – 2) = ± 12,665.

При доверительной вероятности 0,95 и уровне значимости 0,05, коэффициент доверия t_a = 2,306 (по таблице Стьюдента), тогда:

y_t – 29,205 ≤ y_пр ≤ y_t + 29,205.

Исходя из уравнения y = 12,5 – 0,095t, определим количество покупателей, сумма покупки которых составит от 3,3 тыс. руб. до 3,7 тыс. руб.: y₉ = 12,5 – 0,095 х 9 ≈ 11 человек. Определим вероятностные границы интервала 11 – 29,205 ≤ y_пр ≤ 11 + 29,205. Следовательно, с вероятностью в 0,95 можно сказать, что покупку на сумму от 3,3 тыс. руб. до 3,7 тыс. руб. сделают не более 40 человек. Так как результаты, полученные в результате выравнивания по прямой, слишком неточные, рассчитаем нелинейный тренд по показательной функции. Для выравнивания зависимости используем параболу второго порядка: y_t = b₀ + b₁t + b₂t². Значения параметров уравнения параболы второго порядка определяют, решая систему нормальных уравнений:

∑ y_i = b₀n + b₂∑t²;

∑yt = b₁∑t²;

∑yt² = b₀∑t² + b₂∑t⁴.

Для расчета необходимых сумм составим таблицу 79.

Таблица 79

Выравнивание по показательной функции.

Сумма чека	yi	t	t2	yt	yt2	t4	yt	yi - yt	(yi – yt)2
0,1-0,5	6	-7	49	-42	294	2401	2,497	3,503	12,271
0,5-0,9	4	-5	25	-20	100	625	11,451	-7,451	55,517
0,9-1,3	16	-3	9	-48	144	81	17,357	-1,357	1,841
1,3-1,7	23	-1	1	-23	23	1	20,215	2,785	7,756
1,7-2,1	36	1	1	36	36	1	20,025	15,975	255,2
2,1-2,5	4	3	9	12	36	81	16,787	-12,787	163,507
2,5-2,9	4	5	25	20	100	625	10,501	-6,501	42,263
2,9-3,3	7	7	49	49	343	2401	1,167	5,833	34,024
∑	100	0	168	-16	1076	6216		0	572,379

1 00 = 8b₀ + b₂168;

-16 = b₁168;

1076 = b₀168 + b₂6216.

Решая уравнение получим : b₀ = 20,501; b₁ = -0,095; b₂ = -0,381.

Коэффициент b₁, как и в линейном тренде, характеризует уменьшение количества покупателей, приходящееся на величину интервала суммы покупки, а коэффициент b₂ характеризует постоянное изменение интенсивности развития рассматриваемого процесса, то есть, замедление его роста (так как b₂ < 0).

Уравнение параболы прогноза количества покупателей выглядит так:

y = 20,501 – 0,095t – 0,381t².

Рассчитаем остаточное среднеквадратическое отклонение от тренда:

S = √∑(y_i – y_t)² / (n - 2) = √ 572,379 / (8 – 2) = ± 9,767.

Тогда вероятностные границы интервала прогнозируемого количества покупателей при доверительной вероятности 0,95 и уровне значимости 0,05 (t_a = 2,306): (y_t – t_aS) ≤ y_пр ≤ (y_t + t_aS), (y_t –22) ≤ y_пр ≤ (y_t + 22).

На основании полученного уравнения y = 20,501 – 0,095t – 0,381t² рассчитаем количество покупателей, сумма покупки которых составит от 3,3 тыс. руб. до 3,7 тыс. руб.: y₉ = 20,501 – 0,095 ∙ 9 – 0,381 ∙ 49 ≈ 1 человек. Вероятностные границы интервала равны: 0 ≤ y₉ ≤ 23, то есть в результате прогнозирования по показательной функции, с вероятностью в 0,95 можно сказать, что покупку на сумму от 3,3 тыс. руб. до 3,7 тыс. руб. сделают не более 23 человек.

Рассмотренные линейный и степенной тренды показаны на рисунке 17.

Рис. 17. Выравнивание фактических данных по линейной и показательной функциям