2.9. Регрессионный анализ

Пример 1. Необходимо проверить с помощью регрессионного анализа (составление однофакторного уравнения регрессии) наличие зависимости между стажем работы продавцов-консультантов и количеством проданных ими товаров на примере данных таблицы 55. Надо ответить на вопрос существует ли зависимость: а)да, б)нет.

Таблица 55

Исходные данные маркетингового анализа

Номер работника	9	3	7	6	4	8	5	1	10	2
Стаж работы, мес.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кол-во ед. товара, шт.	7	9	10	15	18	23	19	20	24	22

Решение. 1) Стаж выберем в качестве независимой переменной х. Для уточнения формы связи построим график (рис. 9).

Рис. 9. Зависимость количества проданных товаров от стажа работы продавца

Анализируя ломаную, можно предположить, что между стажем продавца и количеством проданных им товаров существует прямолинейная связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

,

где - теоретические расчетные значения результативного признака (количество проданных товаров, шт.), полученные по уравнению регрессии; а₀, а₁- неизвестные параметры уравнения регрессии; х – стаж работы продавцов, месяцы. Нахождение параметров уравнения регрессии проведем с помощью табл. 56.

Таблица 56

Упорядоченные данные решения

№ работника	Стаж работы, мес.	Кол-во единиц товара, шт.
3	1	7	1	49	7	4,327
7	3	9	4	81	18	6,854
6	2	10	9	100	30	9,381
4	4	15	16	225	60	11,908
8	5	18	25	324	90	14,435
5	6	23	36	529	138	16,962
1	7	19	49	361	133	19,489
2	8	20	64	400	160	22,016
10	9	24	81	576	216	24,543
9	10	22	100	484	220	27,070
Итого	55	157	385	3129	1072	156,985

Пользуясь расчетными значениями, находим параметры для уравнения регрессии:

;

.

На основании их, уравнение регрессии будет иметь вид: .

Проверим адекватность регрессионной модели, для чего проведем следующие расчеты, представленные в табл. 57).

Таблица 57

Расчетная таблица исследований

-8,7	75,69	-11,373	129,345	2,673	7,145
-6,7	44,89	-8,846	78,252	2,146	4,605
-5,7	32,49	-6,319	39,930	0,619	0,383
-0,7	0,49	-3,792	14,379	3,092	9,560
2,3	5,29	-1,265	1,600	3,565	12,709
7,3	53,29	1,262	1,593	6,038	36,457
3,3	10,89	3,789	14,357	-0,489	0,239
4,3	18,49	6,316	39,892	-2,016	4,064
8,3	68,89	8,843	78,199	-0,543	0,295
6,3	39,69	11,37	129,277	-5,07	25,705
Итого	350,1	-	526,824	-	101,162

- среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений .

- среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней .

Найдем расчетные t-критерия Стьюдента: ;

.

Сравним полученные значения с табличным: .

Поскольку < t_табл., то а₀ признается незначимым, то есть этот параметр в действительности равен нулю и лишь в силу случайных обстоятельств оказался равным проверяемой величине.

Таким образом, исходя из полученных конкретных данных конкретного предприятия можно констатировать: наличие взаимосвязи между стажем работы продавцов-консультантов и количеством проданных ими товаров нет.

Пример 2. В таблице 58 представлены данные о расходах фирмы на рекламу и объеме реализации продукции. Определить тесноту связи между расходами фирмы на рекламу и объемом реализации продукции.

Таблица 58

Динамика данных по рекламе и объему реализации товарной продукции

Год	Объем реализации продукции, тыс. руб. (у)	Расходы на рекламу, тыс. руб. (х)
2004	4480	13,44
2005	8960	18
2006	17820	21,65
2007	21420	24,12
2008	27420	28,92
Итого	80100	106,13

Решение:

Зависимость определяется линейной функцией следующего вида:

,

Используя данные таблицы, получим систему уравнений:

.

Решая систему уравнений, находим коэффициенты: , a . Таким образом, получаем уравнение регрессии: . Его выражение свидетельствует, что единица расходов на рекламу приносит средний объем реализации продукции тыс. руб.

Коэффициент называется коэффициентом регрессии и в нашем случае имеет положительный знак, следовательно, связь является прямой. Теснота этой связи к прямой определяется коэффициентом корреляции:

R , параметры которого рассчитаем по таблице 59.

Таблица 59

Показатели для расчета коэффициента корреляции

Год	x	y	(y-	(	( (y-	(y-	(
2004	13,44	4480	-11540	-7,79	89896,6	133171600	60,6841
2005	18	8960	-7060	-3,23	22803,8	49843600	10,4329
2006	21,65	17820	1800	0,42	756	3240000	0,1764
2007	24,12	21420	5400	2,89	15606	29160000	8,3521
2008	28,92	27420	11400	7,69	87666	129960000	59,1361
	106,13	80100	0	0	216728,4	345375200	138,7816

Вычислим дисперсии , , тогда коэффициент корреляции определится как = . Полученное значение R свидетельствует, что связь довольно тесная.

Пример 3. В таблице 60 представлены данные о расходах на продукты питания – молочную продукцию марки «Мила» и душевом доходе для девяти групп семей исследуемого района. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на молочную продукцию данной марки от величины душевого дохода семей.

Таблица 60

Данные о расходах на молочную продукцию марки «Мила» и душевом доходе семей

Номер группы	Расход на молочную продукцию «Мила», руб. ( y)	Душевой доход, руб. (x1)
1	433	628
2	616	1577
3	900	2659
4	1113	3701
5	1305	4796
6	1488	5926
7	1645	7281
8	1914	9350
9	2411	18807

В исследовании необходимо установить:

- какова значимость фактора дохода семей в процессе принятия решения о покупке данного товара?

- нужно ли учитывать этот фактор в комплексе продвижения продукции?

Решение. Рассмотрим однофакторную модель зависимости расходов на продукты питания данной марки (y) от величины душевого дохода (x₁). Она выражается линейной функцией вида

параметры которой и находятся в результате решения системы нормальных уравнений, которая формируется на основе метода наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая имеет вид:

где суммирование проводится по всем n группам.

Используя данные таблицы 60, получим систему уравнений:

решением которой являются значения Таким образом, модель расхода на молочную продукцию в зависимости от душевого дохода имеет вид: Это уравнение регрессии. Направление связи между и определяет знак коэффициента регрессии . В данном случае связь является прямой. Теснота этой связи определяется парным коэффициентом корреляции:

где - средняя квадратическая ошибка выборки :

где - средняя арифметическая значений ; - средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии для числа степеней свободы :

где - соответствующее значение расходов на молочную продукцию, вычисленное по модели. В данном примере: следовательно,

Из теории статистики известно, чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. Полученное значение свидетельствует, что связь между расходами на продукты питания марки «Мила» и душевым доходом очень тесная. Следовательно, фактор дохода семьи необходимо учитывать в продвижении продукции.

Пример 4. Администрация торгового предприятия приняла решение о введении нового вида услуг по ценовому стимулированию. По выборке из 10 случаев стимулирования анализируется зависимость выручки продаж в момент стимулирования от затрат на стимулирование (табл. 61).

Таблица 61

Маркетинговые данные по результатам стимулирования

№ мероприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Выручка от продаж, тыс. руб. (У)	26,2	17,8	31,3	23,1	27,5	36,0	14,1	22,3	19,6	31,3
Затраты на стимулирование, тыс. руб. (Х)	3,4	1,8	4,6	2,3	3,1	5,5	0,7	3,0	2,6	4,3

П остроим поле корреляции результата и фактора (рис. 10).

Рис. 10. Поле корреляции результата (выручка от продаж) и фактора (затрат на стимулирование), а так же машинное линейное уравнение регрессии

На основании поля корреляции можно сделать вывод, что между факторным (Х - затраты на стимулирование) и результативным (Y - выручка от продаж) признаками визуально существует прямая зависимость.

Определим методом наименьших квадратов параметры а и b уравнения парной линейной регрессии: у=а+bx. Искомые уравнения имеют вид:

г де n число наблюдений в совокупности (в нашем случае 10); a и b искомые параметры; x и y фактические значения факторного и результативного признаков. Коэффициенты системы уравнений находим по следующим формулам:

Для облегчения расчетов составим расчетную таблицу 62 из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (ŷ). В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4, 5 данной задачи.

Таблица 62

Расчетная таблица уравнения регрессии

№	X	Y	X²	x·y		y²	ŷ	(y-ŷ)	(x-x)	(ŷ-y)²
1	1	2	3	4		5	6	7	8	9
1	3,4	26,2	11,56	686,44	89,08		26,20	0,00	0,0729	1,6384
2	1,8	17,8	3,24	316,84		32,04	18,70	0,81	1,7689	36,6884
3	4,6	31,3	21,16	979,69		143,98	31,80	0,25	2,1609	47,3344
4	2,3	23,1	5,29	533,61		53,13	21,00	4,41	0,6889	15,3664
5	3,1	27,5	9,61	756,25		85,25	22,30	7,29	0,0009	0,0144
6	5,5	36	30,25	1296		198	36,00	0,00	5,6169	122,7664
7	0,7	14,1	0,49	198,81		9,87	13,50	0,36	5,9049	130,4164
8	3	22,3	9	497,29		66,9	24,30	4,00	0,0169	0,3844
9	2,6	19,6	6,76	384,16		50,96	22,40	7,84	0,2809	6,3504
10	4,3	31,3	18,49	979,69		134,59	30,40	0,81	1,3689	30,0304
∑	31,3	249,2	115,85	6628,78		863,8	249,1	25,77	17,881	390,9900

П роведем расчеты по следующим формулам:

К оэффициент регрессии (b) показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y. Применительно к данной задаче можно сказать, что при вкладе в мероприятия по стимулированию продаж на 1 тыс. руб. общая сумма прибавки выручки изменяется в среднем на 4,686 тыс. руб.

Таким образом, линейное уравнение регрессии примет следующий вид: у=10,25+4,68х. Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:

В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y и x, по значению коэффициента корреляции r = 0.957.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации r² = 0,957² = 0,916.Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

С татистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов:

и ее среднее квадратическое отклонение:

Н айдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:

Ф актическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как

П олученное фактическое значение tb сравнивается с критическим tk , который получается по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:

П олученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к. , исходя их условия 11,05>2,3. Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия для уравнения определяется как

F _факт сравнивается с критическим значением Fк, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы: K₁=m-1=2-1=1; K₂=n-m=10-2=8; значение F_k=5,32.

Следовательно, при F_факт >Fк уравнении регрессии в целом признается существенным. Таким образом, по исходным данным полагают, что средняя величина затрат на стимулирование составляет тыс. руб. и уменьшится на 5% от своего среднего уровня.

С ледовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:

а точечный прогноз продаж в результате стимулирования:

С троим доверительный интервал прогноза издержек на стимулирование с вероятностью 0,95 (L=0,05) по формуле

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости L=0,05 и числа степеней свободы n-2=10-2=8.

Стандартная ошибка точечного прогноза, рассчитываемая по формуле:

О тсюда доверительный интервал в тыс. руб. составит:

Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 тыс. руб. ожидаемой величины затрат на стимулирование довольно широкий.

Задания по теме:

Задача 1. Постройте уравнение регрессии по взаимосвязи между средним баллом абитуриента по ЕГ и имиджем экономических специальностей. Оцените позицию маркетолога в вашем институте.

Задача 2. Экспертным методом постройте регрессионную зависимость между имиджем Вуза и имиджем работодателей, охотно принимающих молодых специалистов на работу.