Иванов В.И (1)

Таким образом, экспериментальные средства, обеспечивающие

определение эквивалентной дозы, реализуют моменты лпэ-рас- пределения выше первого.

В следующих параграфах познакомимся подробнее с формированием ЛПЭ-спектров и их характеристиками.

Смысл функции ،([) определяется так, что t(L)dL представляет долю обшей длины треков, связанную со значением лпэ от L

Зная функцию распределения, легко получить среднее значение

Помимо распределения длины треков по лпэ можно говорить об ЛПЭ-распределении поглощенной энергии излучения.

250

Заметим, что произведение (Hi)t(L)dL выражает суммарную

длину треков в данном объеме, с которыми связано значение

лпэ от L до LidL. Поскольку лпэ выражает поглощенную

энергию на единицу длины трека, часть поглощенной энергии излучения в данном объеме, обусловленная частицами с лпэ от L

до LidL, равна

ع£)غ(هخت)ة/،(،)خ(خعخ. )82.6(

Проинтегрировав формулу (82.6) по всем значениям лпэ, полу-

чим общую поглощенную энергию излучения АЕ:

شعءة/،ح)غ) LdL. (82.7)

Поделив (82.6) на (82.7), найдем долю поглощенной энергии, обусловленную частицами с лпэ от L до LidL:

где 8 (خ) есть плотность ЛПЭ-распределения поглощенной энерГИИ. Очевидно,

٢ в ([)،/[ = 1.

о

Доля поглощенной энергии, обусловленная частицами с лпэ от 0 до L, или функция ЛПЭ-распределения поглощенной энергии جم(L), равна

D=٠٢s(٠.

Среднее значение лпэ как результат усреднения по погло-

пенной энергии («энергетическое» среднее) определится теперь следующей формулой:

Из (82.5) и (82.8) следует простое соотношение между функциями е(£) и t(L)

тическим и трековым ЛПЭ-спектрами. Эти функции являются полезным дополнением к дифференциальным характеристикам поля излучения. Пусть задан энергетический спектр излучения ф(£), так что ф(£) ىلدنا флюенс частиц в энергетическом интервале О'Т £ до £بىل£. Поскольку каждой энергии частиц Е COOT-

ветствует определенное значение лпэ, можно говорить об лпэспектре частиц ф(£). в этом случае <^(L)dL есть флюенс частиц.

251

Последний интеграл есть частотное среднее значение лпэ. От

сюда

Из уравнения (82.19) непосредственно следует, что

٠٢ а ([)،/£: 1.

о

Энергетическое среднее линейной передачи энергии Ее теперь можно выразить через дозовый ЛПЭ-спектр:

خ£=لع)غ(]كبغ. )82.20(

Величину Ее называют также дозовым средним значением лпэ.

Полезной характеристикой дозного ПОЛЯ является также интегральная форма дозового ЛПЭ-распределения ٥٤, выражаемая

§ 83. ФОРМИРОВАНИЕ ЛПСПЕКТРОВ. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

Рассмотрим подробнее формирование спектров излучения в рассеивающей и поглощающей средах. Пусть имеется однородное поле излучения, создаваемое равномерно распределенными источниками в бесконечно протяженной среде. Допустим сначала, что источники испускают моноэнергетические электроны с энергией Е0. Поскольку поле однородное (равновесное состоя-

ние), энергия, испущенная источниками за некоторое время, в любом элементе объема равна поглощенной энергии. Испущенные источниками электроны, взаимодействуя со средой, изменяют свою первоначальную энергию, в результате действующее излучение в среде оказывается немоноэнергетическим, хотя источники испускают электроны одной энергии.

253

Пусть у(Ео, Е)йЕ — рассчитанный на одну первичную части­ цу флюенс электронов в интервале энергий от Е до Е+с1Е дей­

ствующего равновесного спектра, образованного в результате за­

медления частиц с начальной энергией Ео. Примем далее, что за время наблюдения в каждой единице объема источниками испу­

где ЦЕ) —ЛПЭ частиц с энергией Е.

гией выше начальной энергии Ео.

Так как поле однородно и спектр равновесный, в каждой еди­ нице объема поглощенная энергия равна испущенной и поэтому

Здесь следует обратить внимание на размерность величин: стоя­

обратно пропорциональным ЛПЭ частиц. Мы рассмотрели фор­

небрегают дискретным характером взаимодействия частиц с ве­

ществом и, во-вторых, полагают, что вся энергия, переданная в каждом акте взаимодействия, реализуется в веществе в той же точке, где произошло взаимодействие; по существу пренебрегают

особенностями, связанными с б-частицами.

Положим теперь, что источники испускают не по одной ча­ стице с определенной энергией в единице объема, а дают целый

спектр частиц с различными энергиями. Пусть п(£о)،/£٠ — число частиц в энергетическом интервале £٠, £о+٥£о, испускаемых

источниками в единице объема. Функцию п(£٠) можно назвать

254

спектром источника, или эмиссионным спектром. Действующий спектр в этом случае определится формулой

где у(£о; Е) имеет прежнее значение.

Смысл Ф(£) определяется тем, что Ф(Е)йЕ есть флюенс частиц в энергетическом интервале Е, Е-\-йЕ. Пределы интегриро­

вания учитывают, что в действующий спектр ф(£) вносят свой

вклад все частицы эмиссионного спектра, энергия которых Е^Е.

Используем соотношение (83.5) и вместо формулы (83.6) напи­

шем

Формула (83.7) позволяет рассчитать действующий спектр в при­ ближении непрерывного замедления по заданному эмиссионному спектру.

Поскольку ЛПЭ однозначно функционально связана с кине­ тической энергией частиц, частотный ЛПЭ-спектр Ф(٤) и частот­

ный энергетический спектр Ф(£) находятся между собой в сле­ дующем соотношении:

Ф(٠=Ф(٠. (83.8)

Используя формулу (82.16), напишем следующее выражение для нормированного дозового ЛПЭ-распределения:

Из формул (83.7) и (83.10) находим следующее окончательное

Ненормированное распределение связано с нормированным про­ стым соотношением

£>(٤)=а(£)Р. (83.12)

Приближение непрерывного замедления не полностью аде­ кватно реальной картине формирования спектров в среде. Части­

цы эмиссионного спектра, замедляясь, преобразуют большую

часть своей энергии в процессах ионизации и возбуждения, но часть энергии преобразуется в тормозное излучение, которое ухо­ дит из рассматриваемой области. Часть энергии поглощается не-

255

посредственно вдоль трека первичной частицы, а часть уносится б-электронами. Учет 6-частиц можно произвести, используя двух­

групповую модель для расчета ЛПЭ-спектров, с которой мы уже познакомились при рассмотрении теории полостных ионизацион­

ных камер (см. § 29).

Сущность модели заключается в том, что устанавливается по­ роговая энергия А, которая делит все столкновения на две груп­

пы: в одной из них переданная энергия меньше А, а в другой — больше, 6-Частицы, возникающие в столкновениях второй груп­ пы, относятся к первичному спектру частиц. Таким образом, если в приближении непрерывного замедления к первичному спектру

относят лишь эмиссионный спектр, то в двухгрупповой модели в

первичный спектр включают и 6-частицы, энергия которых выше А. Кроме того, в расчетах используют ограниченное значение ЛПЭ ٤д. Двухгрупповая модель позволяет вычислять дозовое распределение по ограниченной ЛПЭ ад(٤).

На рис. 72 представлен нормированный дозовый ЛПЭ-спектр

электронов в воде, освобожденных у-излучением 6٥Со. Заметим, что по оси ординат отложена величина а(٤(٤, представляющая долю поглощенной дозы на единичный интервал 1п٤ в соответст­ вии со следующим преобразованием:

а(٤(٥٤=а(٤(٤٠٤). (83.13)

В таком представлении площадь под кривой графика непо­ средственно указывает дозу в определенном интервале ЛПЭ, по­

скольку

На рисунке видна деформация спектра при изменении поро­

говой энергии А. На оси абсцисс отмечены значения частотной

средней Гд,т и дозовой средней ٤д٠Е ЛПЭ при Д=100 эВ. Рисунок 73 дает примеры интегрального дозового ЛПЭ-спек-

смотрим подробнее закономерности поведения средних значений ЛПЭ. Перепишем формулу (82.5)

ления случайной величины ٤. Тогда, если использовать терми­ нологию математической статистики, ٤т есть первый момент это­

го распределения.

256

Рис. 72. Нормированный дозовый ЛПЭ٠спектр электронов в воде

Рис. 73. Интегральный дозовый ЛПЭ٠спектр различных видов излучения

Напишем теперь следующее соотношение для дозовой сред-

ней ЛПЭ:

пределения ع)غ(ا равный произведению ЬЕЬт Вспомним, что дисперсия ٠2 распределения случайной величины равна второму

моменту минус квадрат первого момента. Следовательно,

Формула (83.17) справедлива и для ограниченных значений лпэ, ЬлЕ и £д,т. Из этой формулы следует, что дозовое среднее лпэ все'гда больше частотного среднего; Ье>Ьт.

Чем значительнее дисперсия, тем больше различаются энер-

гетическое и частотное значения лпэ. Эти величины равны между собой лишь при 02=0, т. е. в случае, когда излучение со-

стоит из частиц с одним и тем же значением лпэ.

При сравнении относительной биологической эффективности (ОБЭ) двух видов излучений сложного состава возникает вопрос, какое среднее значение лпэ можно для этого использо-

вать?

Рассмотрим два вида излуч'ения, один из которых содержит частицы с одинаковыми значениями лпэ, равными غا; назовем

это излучение однородным. Другой вид излучения - неоднородное - состоит из частиц с различными лпэ, и дисперсия лпэ

для неоднородного излучения равна 2٠إ٠ Тогда

83.18) ,(1— -٠ة = 4آ)

257

где индекс 2 относится к неоднородному излучению. Понятно, что для однородного излучения дисперсия ЛПЭ равна нулю. Обо­

Допустим теперь, что частотное среднее значение ЛПЭ одно­ родного излучения Lti больше, а его энергетическое среднее Lei

меньше, чем соответствующие средние значения ЛПЭ для неод­

нородного излучения:

й٥>1, что не противоречит исходным условиям (а и ٥ больше

единицы). Таким образом, мы показали, что практически могут быть такие условия, при которых среднее частотное ЛПЭ для данного вида излучения (в нашем случае ٤тг) меньше среднего частотного ЛПЭ некоторого реперного излучения, в то время как среднее энергетическое ЛПЭ данного излучения (в нашем случае

٤Е2) больше среднего энергетического ЛПЭ реперного излучения.

Это заставляет быть особо осторожным при сравнении ОБЭ излу­ чений различного состава по средним значениям ЛПЭ. Во всех случаях при таком сравнении надо использовать среднее энерге­ тическое значение ЛПЭ.

§ 84. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ длины ПУТИ в СФЕРИЧЕСКОЙ полости

Рассмотрим прохождение ионизирующих частиц через сфери-

1)частицы, вылетающие из источника, летят строго прямо-

линейно;

2)каждая частица, попавшая в полость, обязательно Пересе-

чет ее. ОчеВ'ИДНо, это число' частиц пропорционально sin 01

258

Рис. 75. Функция распределения длины пути:

ولأذاك) определяет долю частиц на единичный интервал пути, имеющих в пределах сферического объема длину пути, равную X.

Функция قه(%) пО'ДЧиняется условию нормировки

ئوه)د(،/د = 1٠

Это условие .означает, что любая частица, попавшая в объем поЛости, обязательнобудет иметь длину ,пути, находящуюся в пределах от о .до 2г.

Рассмотрим два частных случая: '1) источник находится далеко от це-нтра сферы и- 2) источник находится на поверхности сферы.

В первом случае р»г; г/р<1. Используя это условие, из формулы (84.7) :получаем следующее выражение:

جد)ح(=د/ ل٠ Х(1х = х/2г\

(84.8)

Графически эта функция выражается прямой линией, идущей из

260