Оптимизация гидродинамических расчетов нефтяных месторождений с использованием локального числа куранта
Вопросы ускорения гидродинамических расчетов, несмотря на прогресс в области вычислительной техники, остаются актуальными на сегодняшний день. Модели нефтяных месторождений широко применяются для оценки и прогнозирования эффективности проводимых мероприятий по увеличению нефтеотдачи пластов. Необходимость процесса многократных вариантных расчетов порождает жесткие требования к скорости их проведения. Таким образом, ускорение расчетов – актуальная задача для гидродинамического моделирования.
Одним из этапов расчетов является расчет поля насыщенности (нефтенасыщенности, газонасыщенности и др.). Несмотря на ряд достоинств полностью неявных схем, до сих пор многие расчеты выполняются в IMPES варианте. При этом поля давления и скоростей определяются по неявной схеме, а поля насыщенностей – по явной. Кроме более простой реализации такая постановка дает возможность гибкого встраивания в расчетные схемы любых дополнительных эффектов.
В явной схеме, как известно, шаг по времени ограничен из условия устойчивости: число Куранта должно быть меньше единицы. Это условие может быть очень жестким за счет потоков в окрестности скважин. Кроме того, ряд специальных вычислительных процедур (измельчение сеток и т.п.) приводит к еще меньшим временным шагам. Вместе с этим, в большей части расчетной области допустимо проводить вычисления с заметно большими шагами по времени.
В работах П.П.Матуса [2, с. 700] предложено использовать кратный измельченный шаг по времени в области с высокими градиентами. В данной работе этот подход обобщен на случай нескольких взаимосвязанных областей, требующих своего коэффициента измельчения. Предлагается метод, позволяющий использовать различные временные шаги для разных подобластей с их динамическим выбором по полю скорости фильтрации.
Суть метода поясним на примере двухфазной фильтрации. Для уравнения переноса водонасыщенности :
число Куранта [1, с. 201] равно:
где – максимальный поток через грань расчетной ячейки, – объем ячейки, , – пористость, – функция Баклея-Леверетта.
Введем понятие локального числа Куранта:
где индексом обозначены величины, относящиеся к конкретной ячейке. Как видим, в таком случае оптимальный шаг по времени определится для каждой ячейки:
(1)
Например, для системы трех пропластков, вскрытых скважинами лишь в верхней части, карта оптимальных шагов по времени показана на рис. 1. Как видно из рисунка, большая часть области допускает больших временных расчетных шагов.
Рис. 1. Карта локальных оптимальных шагов по времени, определенных по (1) для трех пропластков при наличии перфорации только на первом
Численные расчеты показывают: полученное решение с ускорением и без ускорения практически не различаются, погрешность в случае с ускорением, как видно из разности карт насыщенности на рис. 2., составляет 3%.
Рис.2 Карты по пропласткам разности значений водонасыщенности, определенной с ускорением и без ускорения на определенный момент времени
Непосредственное задание шагов по времени в каждой ячейке невозможно из-за необходимости согласованного расчета поля насыщенности. Для удовлетворения условию согласования предлагается следующий алгоритм:
Выбираются шаги по времени, соответствующие условию устойчивости для всех составляющих потоков.
Для каждой ячейки выбирается шаг по времени, равный минимальному из шагов, соответствующих потокам, протекающим через грани ячеек:
.
Выбирается наименьший по всем ячейкам шаг по времени
Для всех ячеек формируется коэффициент увеличения шага
Коэффициенты для ячеек округляются в сторону нуля до числа, составляющего целую степень числа два (1, 2, 4, …), тем самым определяется количество мелких шагов, на которых будет проведен один перерасчет для ячейки (коэффициенты кратности):
В каждой ячейке вычисляется свой шаг по времени.
Значение функции Баклея-Леверетта на каждой границе пересчитывается один раз за шагов. При таком подходе баланс массы в ячейках всегда соблюдается.
Расчет насыщенности проводится с числом шагов, соответствующим самому минимальному шагу, однако каждая ячейка «пересчитывается» с собственным периодом, соответствующим .
Схема заполнения ячеек коэффициентами кратности приведена на рис. 3.
Рис. 3. Схема поля кратности
Указанная процедура позволила значительно снизить объем вычислений и сэкономить время Во всех случаях решение, получаемое с использованием ускоряющего алгоритма, и без него практически не отличаются.
В одномерном радиальном случае алгоритм привел к экономии времени расчета поля нефтенасыщенности примерно в 1,5 раза. Насыщенность на двумерных объектах вычисляется примерно в 2 раза быстрее. На реальных трехмерных месторождениях с большим количеством скважин алгоритм приводит примерно к 2-х кратному ускорению (1 час расчета варианта вместо 2 часов). В специальном тестовом примере, моделирующем учет подстилающей водной области не вскрытой скважинами, алгоритм приводит к еще большему выигрышу по времени.
расчетов.
Численные
эксперименты показали, что определение
для каждой ячейки не имеет смысла, так
как эта величина меняется в пределах
одного шага расчета поля скоростей.
Актуальным является лишь учет разных
потоков и объемов ячеек.
В результате был реализован и проверен алгоритм ускорения расчетов уравнений переноса по явной схеме с учетом использования локального числа Куранта. Алгоритм был протестирован на одномерном радиально-симметричном случае, на ряде 2-х и 3-х мерных тестовых примерах месторождений, опробован на реальных данных нефтяных месторождений.