Направление «Высшая математика и кибернетика»
Заботин И.Я., Яруллин Р.С.
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Об одном методе отсечений на основе аппроксимации надграфика с отбрасыванием секущих плоскостей и его численном исследовании
Класс методов отсечений для задач математического программирования довольно широк (напр., [1 - 5]). В этих методах при построении итерационных точек используется аппроксимация либо допустимого множества исходной задачи, либо надграфика целевой функции некоторыми множествами более простой структуры. Каждое из этих аппроксимирующих (погружающих) множеств обычно строится на основе предыдущего путем отсечения от него, как правило плоскостями, некоторого подмножества, содержащего итерационную точку.
Одна из основных проблем, возникающих при численной реализации абсолютного большинства таких методов, заключается в следующем. С увеличением числа итераций неограниченно растет и количество отсекающих плоскостей, а значит, и неравенств, которые формируют аппроксимирующие множества. В связи с этим от шага к шагу увеличивается трудоемкость решения задач нахождения итерационных точек.
Ранее авторами предложен один подход к построению алгоритмов отсечений с частичным погружением допустимого множества, в которых предусмотрено периодическое отбрасывание уже использованных при аппроксимации плоскостей [5]. Реализованная в [5] идея распространяется в данной работе на алгоритмы отсечений, которые используют операцию погружения не области ограничений, а надграфика целевой функции. Предлагаемый здесь метод для условной минимизации функции максимума характерен тем, что в нем заложена возможность обновления погружающих надграфик множеств за счет периодического отбрасывания любого числа любых уже построенных отсекающих плоскостей.
Пусть
—
выпуклое замкнутое множество из
-мерного
евклидова пространства
,
,
,
функции
– для всех
для всех
выпуклы в
,
Решается задача
Пусть
,
– субдифференциал функции
в точке
.
Положим
где
Метод
решения задачи (1) вырабатывает
последовательности
и
приближений из множества
и заключается в следующем. Выбирается
выпуклое замкнутое ограниченное
множество
содержащее хотя бы одну точку из
например,
Строится выпуклое замкнутое множество
такое, что
Задаются числа
и полагается
1.
Отыскивается точка
где
как решение задачи
Если
то
и процесс завершается.
2.
Если выполняется неравенство
то выбирается выпуклое замкнутое
множество
содержащее точку
полагается
и следует переход к п. 3. В противном
случае полагается
выбирается
выпуклое замкнутое множество
такое, что
задается
значение
увеличивается на единицу.
3.
Полагается
Выбирается множество
следующим образом. В
заносится любой номер
Кроме
в множество
включаются любые другие номера из
или не включаются более ни одного.
4.
Для каждого
выбирается конечное подмножество
множества
и полагается
5.
Выбирается такое выпуклое замкнутое
множество
что
Задается число
Значение
увеличивается на единицу и следует
переход к п.
Утверждения, касающиеся обоснования сходимости предложенного метода, можно найти в [6].
Приведем принципиальное замечание, касающееся возможности периодического обновления аппроксимирующих множеств за счет отбрасывания любого числа отсекающих плоскостей.
Для
тех
и
при которых выполняются неравенства
условие
(3) дает большие возможности в выборе
множеств
а значит, и в задании множеств
.
В случае (4) можно положить, например,
Тогда
допустимо задать одним неравенством
считая, что
,
При условии (4) множество
можно задать и в виде
где
поскольку при всех
ввиду
включение (3) выполняется. Согласно (5),
(6) при каждом
можно отбрасывать при формировании
любое количество любых накопленных к
шагу
отсекающих плоскостей. В [6] доказано,
что если числа
выбрать такими, что для каждого
то для каждого
найдется решение
задачи (2), удовлетворяющее (4), и,
следовательно, представится возможность
задания
в виде (5) или (6).
Отметим,
что числа
,
,
можно выбрать, как и число
,
на предварительном шаге метода. Однако
в таком случае
не будет адаптирована к процессу
минимизации. Поэтому в методе предусмотрена
возможность выбора чисел
на шаге 2, т.е. в процессе построения
приближений
.
Приведем пример такого способа задания
Пусть
– сколь угодно большое положительное
число, тогда
Положим для всех
в п. 2 метода
где
Отметим,
что для такой последовательности
выполняется
и
при
Численные эксперименты с алгоритмами метода проводились на персональном компьютере со следующими характеристиками: OS Windows XP SP3, AMD Athlon™ 64 X2 Dual Core Processor 6000+ 3,01 ГГц, 2,00 ГБ ОЗУ.
Алгоритмы метода тестировались на задаче следующего вида:
Исследованные
алгоритмы отличались способами задания
множеств
,
а также выбором значений
.
Алгоритмы метода численно реализованы
на языке программирования С#. Тестирование
проводилось на примерах c
размерностями пространства от 5 до 50,
При
этом параметры в алгоритмах выбирались
следующим образом:
a)
b)
,
c)
d)
где
e)
где
После проведения численных экспериментов было выяснено, что алгоритм a) без отбрасывания ограничений существенно дольше по времени решал тестовые примеры в сравнении с алгоритмами b) – e), использующие обновление аппроксимирующих множеств. Отметим, что среди алгоритмов с отбрасыванием дополнительных ограничений наиболее предпочтительным оказался алгоритм e). Время достижения заданной точности решения этим алгоритмом в большинстве примеров оказалось наименьшим
Титова И.В.
«Институт экономики, управления и права (г.Казань)»