8. Ротор векторного поля. Формула Стокса.
9. Потенциальное поле.
Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, вмногосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).
Пусть
—
потенциальное векторное поле; оно
выражается через потенциал
как
(или
в другой записи
).
Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как
,
то
есть для сил потенциалом
является
.
Когда U не зависит от времени, оно является
потенциальной энергией, и тогда знак
«-» возникает просто по определению. В
противном случае знак сохраняется ради
единообразия.
Для
поля
выполняется
свойство независимости интеграла от
пути
:
,
Это равносильно
.
Интеграл по замкнутому контуру обращается в 0, поскольку начальная и конечная точка совпадают. И наоборот, предыдущую формулу можно вывести из этой, если разбить замкнутый контур на два незамкнутых.
Необходимое
условие записывается как
(или
в другой записи
).
10. Комплексные числа. Основные понятия.
Ко́мпле́ксные
чи́сла (устар. мнимые числа) — числа
вида
,
где
и
—
вещественные числа,
—
мнимая единица; то есть
.
Множество всех комплексных чисел обычно
обозначается
от
лат. complex
— тесно связанный.
Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики.
Стандартная модель:
Комплексное
число
можно
определить как упорядоченную пару
вещественных чисел
;
запись
следует
понимать как удобный способ записи пары
.
Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
Вещественные
числа являются в этой модели подмножеством
множества комплексных чисел и представлены
парами вида
,
причём операции с такими парами
согласованы с обычными сложением и
умножением вещественных чисел. Ноль
представляется парой
единица
—
а
мнимая единица —
.
На множестве комплексных чисел ноль и
единица обладают теми же свойствами,
что и на множестве вещественных, а
квадрат мнимой единицы, как легко
проверить, равен
,
то есть
.
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные сотношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.
Матричная модель:
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице —
