2. Градиент. Связь между производной скалярного поля и градиентом.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами   , , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Градиент обозначается   или, с использованием оператора набла, .

Из определения градиента следует, что:

Свойства:

Для любого постоянного числа   и скалярных полей справедливо следующее:

1)

2)Линейность

3)Правило Лейбница

, где — скалярное произведение векторов и

Связь с производной по направлению:

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции   по направлению равняется скалярному произведению градиента наединичный вектор :

3. Векторное поле. Векторные линии.

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.

Векторное поле на евклидовом пространстве определяется как вектор-функция точки пространства, отображающая это пространство в (на) себя:

То есть, каждой точке пространства сопоставляется некоторый вектор (значение векторного поля в данной точке пространства). В общем случае этот вектор различается для разных точек пространства, то есть в общем случае векторное поле принимает разные значения в разных точках пространства. В каждой точке пространства вектор поля имеет определенную величину и определенное (за исключением тех случаев, когда поле обращается в ноль) направление в этом пространстве.

Интегральной кривой (также — векторной линией, для силовых полей — силовой линией, для поля скорости движения жидкости или газа — линией тока; первые термины являются общими, остальные — их синонимами в зависимости от контекста) для поля называется кривая , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

На картинке - силовые линии магнитного поля. ->

Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.

Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.

Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.

4. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля.

Определение линейного интеграла. Пусть в пространственной области V определено непрерывное векторное поле(M), L - гладкая кривая, расположенная в V. Линейным интегралом поля  вдоль линии L называется криволинейный интеграл по длине дуги от скалярного произведения (M) на единичный касательный вектор (M): .

Как и поток, этот интеграл может представляться различным образом. Так, если учесть, что произведение  на  даёт изменение радиуса-вектора точки М, т.е. ,то  и . Следовательно, линейный интеграл может быть выражен и через линейный интеграл по координатам.

Основные свойства линейного интеграла.

1. Линейность. ;

2. Аддитивность. . Направление на каждой из частей L1 и L2 должно быть таким же, как и на всей кривой ;

3. При изменении направления вдоль L линейный интеграл меняет знак. Это следует из того, что вектор (M) меняется на - (M).

4. Если L - векторная линия поля, и движение происходит в направлении поля, то W>0. В этом случае вектор (M) коллинеарен (M), поэтому .

Вычисление линейного интеграла. Как и любой криволинейный интеграл, линейный интеграл вычисляется сведением к определённому интегралу по параметру на кривой; обычно вычисляют криволинейный интеграл . Если кривая при параметрическом задании имеет вид , где - непрерывно дифференцируемые функции, то Направление интегрирования определяется направлением движения по кривой.

Циркуляция векторного поля.

Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой С: .

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны; вообразим в объёме V замкнутый контур С. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью; абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения (чем больше |Ц|, тем выше скорость); знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.