3. Аксонометрические проекции

Опр.: Аксонометрией называется наглядное изображение, полученное параллельным проецированием предмета вместе с декартовой системой координат, к которой оно отнесено в пространстве, на новую плоскость, называемую плоскостью аксонометрического проецирования.

Спроецируем декартовую систему координат OXYZ на некоторую аксонометрическую плоскость проекций П', произвольно расположенную по отношению к данной системе координат. Если направление проецирования S перпендикулярно к плоскости П', то аксонометрические проекции называются прямоугольными (ортогональными), а если наклонно к П' – косоугольными.

На осях координат X, Y, Z отложим от начала координат 0 равные отрезки OA = OB = OC = E. Примем отрезок Е за единицу измерения. Отрезки O'A' = E'_x, O'B' = E'_z, O'C' =E'_y являются аксонометрическими проекциями отрезка Е, и в общем случае они не равны между собой, т. е. Е'_х ≠ Е'_у ≠ Е'_z. Следовательно, размеры изображаемого предмета при аксонометрическом проецировании по всем трем осям искажаются. Величины отрезков Е'_х, Е'_у, Е'_z называются аксонометрическими единицами, а система O' X' Y' Z' называется аксонометрическими осями.

Отношение длины отрезка в аксонометрических проекциях к истинной длине отрезка называют показателями (коэффициентами) искажения по аксонометрическим осям:

K_x = ; K_у = ; K_x = .

Зная величину показателей искажения, можно построить аксонометрическое изображение по ее натуральным координатам, используя выражения:

Е'_х = К_хЕ; Е'_у = К_уЕ; Е'_z = К_zE.

Прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции в зависимости от сравнительной величины показателей искажения по осям разделяют на следующие виды:

1. Изометрию – все три показателя искажения по осям равны между собой: К_х = К_у = К_z.

2. Диметрию – если два показателя искажения равны между собой и отличаются от третьего: К_х = К_z ≠ К_y.

3. Триметрию – если три показателя искажения по осям различны: К_х ≠ К_у ≠ К_z.

Согласно ГОСТ 2.317–69 введены стандартные аксонометрические проекции: прямоугольная изометрия, прямоугольная диметрия и косоугольная диметрия. В инженерной практике наибольшее применение получили прямоугольные изометрические и диметрические проекции.

4. Прямоугольная изометрическая проекция

При прямоугольном проецировании системы координат на аксонометрическую плоскость проекций П', равнонаклоненную ко всем трем осям координат, аксонометрические оси образуют между собой углы 120°.

Так как все три показателя искажения равны К_х = К_у = К_z, то, подставив их в формулу получим = 2 или – теоретический показатель искажения по осям.

Но для упрощения построений показатели искажения принимают равными 1 (К_х= К_y = K_z =1), т. е. размеры изображаемого предмета по всем трём осям откладываются в натуральную величину, а изображение предмета получается увеличенным в 1,22 раза относительно к его истинной величине.

Построение точки А по координатам в изометрии показано на чертеже.

Построение изображения предмета выполняется по каркасу характерных для предмета точек с учетом свойств параллельного проецирования: параллельные прямые остаются на аксонометрических проекциях параллельными, а точки, принадлежащие линиям, на проекциях принадлежат аксонометрическим проекциям этих линий. Характерные точки строят по координатам. На рисунке показано построение изометрической проекции точки А по комплексному чертежу.

Рассмотрим построение квадрата 1234 и окружности в изометрии. Их целесообразно выполнять в такой последовательности: 1. Оси симметрии квадрата х, у принимают из оси координат. Для построения изометрической проекции от начала аксонометрических осей (точка О') по оси х' необходимо отложить отрезки О'I = O'II' = I, а по оси у' – О'III' = O'IV' = OIII. Показатели искажения по трем осям равны единице.

Через точки I', II' проводят прямые, параллельные оси у', а через точки III', IV' – параллельные оси х' до пересечения их в точках 1', 2', 3', 4', которые принадлежат параллелограмму 1'2'3'4'.

2. Точки, принадлежащие большей А'В' и малой С'D' осям эллипса, в который превращается окружность в изометрии, строят по соответствующим координатам.

3. Построив 8 точек и соединив их плавной кривой, можно с достаточной точностью вычертить эллипс.

На следующем рисунке изображена изометрия куба с вписанными в его грани окружностями диаметром d. Из рисунка видно, что все три окружности, каждая из которых расположена параллельно одной из плоскостей проекций, проецируются на них в виде равновеликих эллипсов, большие оси которых равны 1,22d и расположены перпендикулярно к осям, отсутствующим в данных плоскостях, а малые равны 0,71d и перпендикулярны большим осям.

На практике эллипсы заменяют овалами. Построение четырехцентового овала показано на рисунке (АВ = 1,22d; CD = 0,71d).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Где применяется метод проекции с числовыми отметками?

2. Что такое уклон, заложение, интервал прямой?

3. На чем основано градуирование прямой линии?

4. Способы задания плоскости.

5. Что называется поверхностью одинакового ската?

6. Принцип построения линии пересечения плоскостей, прямой и плоскости?

7. Чем отличаются аксонометрические проекции от ортогональных?

8. Какие установлены виды аксонометрических проекций?

9. Как определяют направление аксонометрических осей и коэффициенты искажения по этим осям?

10. Что называется аксонометрической проекцией?

ЗАДАЧИ:

Задача 1. По заданным проекциям точек с числовыми отметкам построить их проекции на эпюре.

Задача 2. Определить истинную величину отрезка АВ и угол наклона к горизонту.

Задача 3. Определить отметку точки С, лежащей на прямой АВ.

Задача 4. Определить взаимное положение прямых АВ и СД.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задача 1. Через точку С₄₂ провести прямую СД, параллельную прямой АВ.

Задача 2. Определить угол падения плоскости и отметки точек, лежащих в этой плоскости.

ПРИЕМ И ЗАЩИТА ДЗ №4 «ЭПЮР – ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ»

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Какие способы применяют при построении линий пересечения поверхностей?

2. Приведите порядок решения задачи методом секущих плоскостей.

3. Приведите порядок решения задачи методом секущих сфер.

4. Какие точки линий пересечения поверхностей называются главными (опорными)?

5. Как определяется видимость точек на линиях пересечения поверхностей?

6. Какие плоскости принимаются в качестве посредников при построении линий пересечения поверхностей?

7. В каких случаях целесообразно применять вспомогательные сферы?

8. Что значит построить линию взаимного пересечения поверхностей?

9. Как выбирается центр секущих сфер?

10. Какое свойство лежит в основе метода секущих сфер?

ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ 16-Й НЕДЕЛИ.

Тестовые задания для промежуточного контроля:

1. Неразвертываемые поверхности изображены на рисунках ... . 1 2 3 4 5

• 1 и 5

• 2 и 5

• 1 и 2

• 1 и 3

2. Развертываемые поверхности изображены на рисунках ... 1 2 3 4 5

• 2 , 4 и 5

• 3 , 4 и 5

• 1 , 3 и 4

• 1 ,  2 и 3

3. Если поверхность без разрывов и складок совместить каждой точкой с некоторой плоскостью, то полученная таким образом на этой плоскости фигура является ___ этой поверхности.

• аксонометрией

• разверткой

• фронтальной проекцией

• горизонтальной проекцией

4. Способом построения развертки поверхностей является способ ...

• конкурирующих точек

• триангуляции

• вспомогательных сфер

• вспомогательных плоскостей частного положения

5. Способом построения развертки поверхностей является способ ...

• замены плоскостей проекций

• вспомогательных сфер

• конкурирующих точек

• нормального сечения

6. Фигура развертки боковой поверхности цилиндра, изображенного на рисунке, представляет из себя ... .

• плоскость, ограниченную прямоугольником

• круг

• круговой сектор (сегмент)

• плоскость, ограниченную эллипсом

7. Из перечисленных способов построения развертки многогранных поверхностей используют способ ...

• цилиндров

• сфер

• конусов

• нормального сечения

8. Положение осей в косоугольной горизонтальной изометрии изображено на рисунке ...

• Б

• Г

• А

• В

9. Эллипсы, изображающие окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, в прямоугольной изометрии показаны правильно на рисунке ...

• Г

• Б

• А

• В

10. Правильное построение изометрии окружности, расположенной в профильной плоскости, показано на рисунке...

11. Верно построена изометрия цилиндра на рисунке...

12. Чертеж в проекциях с числовыми отметками получается проецированием на ___ плоскость(и)  проекций.

• две

• три

• четыре

• одну

13. Из точек А(10), B(8), C(0), D(- 2) в проекциях с числовыми отметками ближе к плоскости нулевого уровня находится точка ...

• С

• А

• В

• D

14. Единицами измерения расстояния точек до плоскости нулевого уровня в проекциях с числовыми отметками являются ...

• метры

• миллиметры

• сантиметры

• километры

15. Точка А(5), заданная  проекциями с числовыми отметками, находится  в пространстве ...

• в плоскости нулевого уровня

• под плоскостью нулевого уровня

• на расстоянии 5 мм от плоскости нулевого уровня

• на расстоянии 5 м над плоскостью нулевого уровня

16. Точка А(0), заданная проекциями с числовыми отметками, находится  в пространстве ...

• под плоскостью нулевого уровня

• над плоскостью нулевого уровня

• на расстоянии 5 м над плоскостью нулевого уровня

• в плоскости нулевого уровня

17. Проекции с числовыми отметками предпочтительно использовать для изображения…

• только гидротехнических сооружений

• только участков земной поверхности

• только объектов, расположенных на земной поверхности

• участков земной поверхности с расположенными на ней объектами

18. Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана ...

• прямой и  величиной угла наклона ее к плоскости  нулевого уровня

• двумя точками

• двумя скрещивающимися прямыми

• тремя точками

19. В проекциях с числовыми отметками длина отрезка l, показанная на рисунке, называется ...

• интервалом прямой АВ

• уклоном прямой АВ

• превышением

• заложением прямой АВ

20. Величина угла между некоторой плоскостью и плоскостью проекций носит название …

• угол падения

• спуск

• уклон

• угол простирания

21. Положение плоскости относительно стран света определяют…

• масштаб уклона и направление спуска плоскости

• угол падения и направление спуска плоскости

• угол простирания плоскости и ее уклон

• масштаб уклона плоскости

22. Отметку точки пересечения прямой и плоскости в проекциях с числовыми отметками определяют с помощью ...

• суммы двух смежных горизонталей

• горизонтали заданной прямой, проведенной через построенную точку

• разности двух смежных горизонталей

• горизонтали заданной плоскости, проведенной через построенную точку

23. Проекции параллельных в пространстве прямых на чертеже с числовыми отметками расположены…

• под углом сорок пять градусов друг к другу

• перпендикулярно друг к другу

• параллельно друг другу

• под произвольным углом друг к другу

24. Параллельные в пространстве плоскости на чертеже с числовыми отметками имеют параллельные масштабы уклонов, а также одинаковые…

• только значения интервалов

• значения уклонов и направления спуска

• только направления спуска

• только значения уклонов

25. Горизонтали топографической поверхности представляют собой результат сечения поверхности…

• фронтально-проецирующими плоскостями

• горизонтально-проецирующими плоскостями

• горизонтальными плоскостями уровня

• плоскостями общего положения