Тема № 7

Развертки поверхностей.

1.Способ нормального сечения.

Пример. Построить развертку наклонной трехгранной призмы.

1. Пересечем призму фронтально проецирующей плоскостью R (RП₂).

Плоскость R перпендикулярна ребрам призмы, являющимся фронталями.

В сечении получим ∆123.

2 . Методом перемены плоскостей проекций найдем натуральную величину сечения 1₄ 2₄ 3₄.

.

х₁ А₂D₂ и фронтальным проекция других ребер.

3. На следе R_П2 построим развертку 3₂ – 2₀ – 1₀ – 3₀ .

4 . Используя точки 2₀, 1₀, 3₀, построим боковую развертку призмы и ее оснований.

С₂В₀=С₁В₁=С₀В₀¹

В₀А₀=А₀В₀¹=А₁С₁

А₀С₀=А₁С₁

F₂E₀=F₁E₁=E₀F₀¹

E₀D₀=E₁D₁

D₀F₀¹=D₁F₁

2. Способ раскатки.

Пример. То же условие.

Боковые ребра  фронтали.

Ребра оснований – горизонтали.

1. Разрежем (мысленно) поверхность по ребру СF и будем поочередно совмещать (раскатывать) грани с плоскостью развертки. Точки А, В, С, D, Е, F будут перемещаться в плоскостях, перпендикулярных боковым ребрам призмы.

2. С₂ В₀=С₁В₁; F₂E₀=F₁E₁ ;

В₀А₀=В₁А₁ ; Е₀D₀=E₁D₁;

А₀С₀=А₁С₁ ; D₀F₀=D₁F₁.

Полученные точки соединяем и получаем искомую развертку боковой поверхности призмы. Затем строим верхнее и нижнее основания призмы: А₀С₀В₀ и Е₀D₀F₀¹.

3. Способ треугольников (триангуляции).

Пример. Построить развертку боковой поверхности пирамиды.

Построение сводится к определению натуральной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников – граней пирамиды.

1. Методом вращения вокруг оси iП₁ (Si) определяем натуральную величину ребер – S₂A₂¹; S₂B₂¹; S₂C₂¹.

2. Строим отрезок S₀A₀= S₂A₂¹.

С помощью циркуля находим точки В₀, С₀, А₀¹.

3. Соединяем полученные точки и получаем искомую развертку боковой поверхности пирамиды.

S0A0=S0A01=S2A21; S0B0=S2B21; А0В0=А1В1; S0C0=S2C21; B0C0=B1C1; С0А01=С1А1.

4. Построение разверток торсовых поверхностей.

Развертки прямого кругового конуса и прямого кругового цилиндра.



= 360

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Какая поверхность называется развертывающейся?

2. Какая поверхность называется неразвертывающейся?

3. Какими свойствами обладают развертки?

4. Какие существуют способы развертывания поверхностей?

5. В чем состоит сущность метода нормального сечения?

6. В чем состоит сущность метода раскатки?

7. В чем состоит сущность метода треугольников?

ЗАДАЧИ:

1. Построить развертку поверхности и найти натуральную величину сечения плоскостью.

а

б

в

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1. Построить развертку поверхности и найти натуральную величину сечения плоскостью.

РАБОТА НАД ДЗ №5 «ЭПЮР – ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ»

Применение метода вспомогательных секущих плоскостей

Во многих случаях в качестве вспомогательных секущих поверхностей удобно использовать плоскости. Выбор вспомогательных секущих плоскостей и их ориентация относительно плоскостей проекций зависит от условий конкретной задачи. При нахождении точек линии пересечения поверхностей следует особое внимание обратить на нахождение так называемых характерных точек (высшей, низшей, точек на очерковых линиях поверхностей и т. д.).

Пример 1.

Построить линию пересечения прямого кругового цилиндра со сферой. Цилиндр занимает проецирующее положение относительно горизонтальной плоскости проекций, а его ось не проходит через центр сферы. На горизонтальную плоскость проекций линия пересечения проецируется в окружность. Для построения фронтальной проекции линии пересечения поверхностей используется вспомогательные секущие плоскости.

Рассечем обе поверхности фронтальной плоскостью Т, проходящей через ось цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по очерковым образующим, а сферу – по параллели радиуса R. Пересечение этих линий и определяет положение А₂ и В₂. Точки С и D строятся аналогично путем введения вспомогательной секущей плоскости U.

Ближняя точка Е и дальняя точка F и Q, горизонтальные следы которых на плоскости П₁ касаются горизонтального следа цилиндра в точках Е₁ и F₁. Для получения высшей точки М и низшей точки N линии пересечения проводится горизонтально-проецирующая плоскость Р – через ось цилиндра О' и центр сферы О, т. е. плоскость симметрии, общая для цилиндра и сферы. Точки М и N определяются на пересечении с поверхностью сферы тех образующих цилиндра, которые расположены в этой горизонтально-проецирующей плоскости.

Вспомогательные точки 1 и 2 находятся при помощи вспомогательной плоскости S, параллельной плоскости П₂. Эта плоскость пересекает цилиндр по образующим, а сферу – по окружности. На пересечении образующих, проведенных через точки 1 и 2, с окружностью определяются фронтальные проекции точек 1₂ и 2₂. Нижняя кривая пересечения симметрична верхней и построение ее ничем не отличается от построения верхней линии пересечения. Затем определяется видимость линии пересечения. Границей видимости на фронтальной плоскости являются проекции точек А₂ и В₂, расположенных на очерковых образующих цилиндра.

Пример 2.

Построить линию пересечения сферы с конусом.

Чтобы определить границы, в которых следует проводить вспомогательные секущие плоскости, необходимо найти высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого вводится вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Т, проходящая через ось конуса и центр сферы. Эта плоскость пересекается с конической поверхностью по образующей S1, а со сферой – по окружности радиуса R, равного радиусу сферы. Искомые точки Е и F определяются на пересечении этих линий.

Таким образом, проекции точек Е и F определяются вращением секущей плоскости Т вокруг оси конуса до положения, параллельного плоскости проекций П₂. Затем строятся фронтальные проекции окружности пересечения сферы с плоскостью Т и образующей S1 в их новом положении (S₂1'₂ и окружность с радиусом R, проведенная из центра О'₂).

Точки Е'₂ и F'₂ находятся на пересечении S₂1'₂ с окружностью, проведенной из центра О'₂, а по ним – точки Е₂ и F₂ на фронтальной проекции образующей S₂1'₂.

Для определения границ видимости кривой на горизонтальной плоскости проекций – точек С и D – используется вспомогательная плоскость Q, параллельная П₁ и проходящая через центр сферы О. Эта плоскость пересекает сферу по экватору, а конус – по окружности радиуса R'. C₁ и D₁ определяются на пересечении горизонтальных проекций этих окружностей. По горизонтальным проекциям точек С₁ и D₁ определяются фронтальные проекции С₂ и D₂, лежащие на фронтальном следе плоскости Q_П2.

Все точки кривой, расположенные на сфере выше плоскости Q, являются видимыми на горизонтальной плоскости проекций. Проекции точек А и В, расположенных на очерковой образующей конуса S₁, определяются с помощью плоскости Р. Плоскость Р пересекает конус по очерковым образующим, а сферу – по окружности радиуса R'' в точках А₂ и В₂. Горизонтальные проекции точек А₁ и В₁ находятся на горизонтальном следе плоскости – Р_П1.

Для определения видимости линии пересечения на фронтальной плоскости проекций определяются горизонтальные проекции точек К₁ и L₁, которые находятся на пересечении главного меридиана сферы с горизонтальной проекцией линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек (К₂ и L₂) строятся по принадлежности.

Промежуточные точки кривой определяются при помощи вспомогательных плоскостей, перпендикулярных к оси конуса. Эти плоскости пересекают заданные поверхности по окружностям.

На рисунке показано построение точек 3 и 4 с помощью горизонтальной плоскости U. Плоскость U пересекает конус и сферу по окружностям, которые проецируются на горизонтальную плоскость проекций без искажения. На пересечении этих окружностей определяются горизонтальные проекции точек 3₁ и 4₁, фронтальные же проекции этих точек находятся на фронтальном следе U_П2 плоскости U.