3. Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях (2 разновидности задач).
а) Тела начинают движение одновременно.
Пример. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода.
б) Тела начинают движение в разное время
Пример. От станции А отправился поезд со скоростью = 60 км/ч. Через 2 часа с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью = 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа после выхода второго поезда?
С одной станции одновременно вышли в противоположных направлениях 2 поезда. Первый шел со скоростью 60 км/ч, второй – 56 км/ч. Через сколько часов эти поезда ушли друг от друга на 696 км.
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж.
При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении.
На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. Эффективны на этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.
4.Задачи на движение по реке
В начальном курсе математики не изучаются.
Приемы работы над задачами на движение.
Решение задач различными способами.
Пример. Поезд, отправившись со станции А, прошел до станции В за 3 часа 210 км., после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд шел от В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В. определите расстояние АС.
1 способ
210:3=70 (км/ч)
70–10=60 (км/ч)
3*2=6 (часов)
60*6=360 (км)
210+360=570 (км).
Полезно обсудить в классе, возможен ли следующий способ решения:
210 * 2 = 420 (км)- время в 2 раза больше, поэтому и расстояние ВС в 2 раза больше, чем АВ; 210 + 420 = 630 (км) – расстояние АС.
Выявив причину (скорость изменилась, не является постоянной величиной), по которой нельзя так решать эту задачу, нужно все-таки попытаться найти другой способ решения с использованием прямо пропорциональной зависимости расстояния от времени при постоянной скорости. Предложим, что скорость не изменилась. Тогда расстояние ВС в 2 раза больше, чем АВ, так как время движения от В к С в 2 раза больше (шел дольше). Расстояние ВС было бы равно 210 * 2 = 420 (км), но скорость изменилась. Каждый час поезд проходил на 10 км. меньше. За 6 часов (3 * 2) он прошел на 60 км меньше (по 10 км. 6 раз). Следовательно, расстояние ВС на самом деле равно 360 км, потому что 420 км. нужно уменьшить на 60 км. Остается найти сложением расстояние АС: 210 + 360 = 570 (км.). Итак, хотя задача решена тоже пятью действиями, но поиск этого способа решения способствует осознанию детьми двух разных по характеру зависимостей величин и поиску новых способов решения задачи, основанных на тех же зависимостях.
Возможны еще два способа решения задачи.
-
2-й способ
210 * 2 = 420 (км);
210 + 420 = 630 (км);
3 * 2 = 6 (часов);
10 * 6 = 60 (км);
630 – 60 = 570 (км.).
3-й способ
10 * 3 = 30 (км);
210 – 30 = 180 (км.);
180 * 2 = 360 (км.);
210 + 360 = 570 (км).
Если ученики не смогут найти какой-либо из данных способов решения задачи, учителю следует записать их на доске и предложить детям объяснить, что найдено в каждом действии, проверить возможность решения задачи такими способами.
Полезно также, упростив условие (пусть скорость не изменяется, является постоянной), предложить решить задачу одним действием и указать «лишние» данные.
При постоянной скорости расстояние ВС больше АВ в 2 раза. Весь путь АС в 3 раза больше, чем АВ (210 км.). Решение: 210 * 3 = 630 (км), а 3 часа – лишнее данное.