2. Особенности и виды задач с пропорциональными величинами:

Особенностью этого вида задач является тот факт, что даны 3 величины, связанные прямой или обратной пропорциональной зависимостью, из них 2 переменные, одна постоянная, при этом даны 2 значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. В задачи такого вида входят 3 зависимых величины:

-цена, количество, стоимость;

-время, расстояние, скорость;

-работа, время работы, количество изготовленных деталей.

Задачи с пропорциональными величинами делятся на следующие виды:

1. задачи на нахождение четвертого пропорционального (на двойное правило),

2. задачи на пропорциональное деление,

3. задачи на нахождение неизвестного по 2 разностям.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального (на двойное правило).

Задача на нахождение четвертого пропорционального – это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым.

Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального (таблица). Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Таблица 6.

№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым
2	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения
3	Даны два значения	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым
4	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная	Даны два значения
5	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная
6	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения	Постоянная

Задачи с прямой пропорциональностью величин

Пример. Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м ситца?

Задачи с обратной пропорциональностью величин. При решении задач данного вида особое значение приобретают схематические модели.

Пример. На чтение 6 страниц Андрей тратит столько же времени, сколько папа на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну страницу, если папа прочитывает одну страницу за 5 минут?

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. В общем виде таблицы всех шести видов задач представлены в таблице.

Таблица 7.

№ вида задачи	Величины
	1-я величина	2-я величина	3-я величина
1	Одинакова	А	С
		Б	?
2	Одинакова	С	А
		?	В
3	А	Одинакова	С
	В		?
4	С	Одинакова	А
	?		В
5	А	С	Одинакова
	В	?
6	С	А	Одинакова
	?	В

Пример. Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м ситца?

Таблица 8.

Расход ситца на 1 наволочку (м)	Количество наволочек (шт)	Общий расход материала (м)
одинаков	8 шт	24 м
одинаков	?	15 м

Пример. На чтение 6 страниц Андрей тратит столько же времени, сколько папа на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну страницу, если папа прочитывает одну страницу за 5 минут?

Таблица 9.

	Время чтения 1 стр. (мин)	Количество страниц (с)	Общее время
Папа	5 мин	8 шт.	одинаковое
Андрей	?	6 шт.

При решении задач с пропорциональными величинами полезно использовать схемы.

Пример. Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м ситца?

Обозначив отрезками общий расход материи – 24 метра и 15 метров, дети обозначают маленькими отрезками расход материи на 1 наволочку (одинаково).

Анализируя схему, необходимо обратить внимание учащихся на то, что один и тот же отрезок одновременно обозначает и количество метров, и количество наволочек.

Далее можно проверить эти рассуждения вычислениями:

1. 24:8=3 (м)

2. 15:3=5 (н.)

Ответ: 5 наволочек.

Анализ текста задачи с обратно пропорциональными величинами позволяет построить следующие схемы.

При решении задач на нахождение четвертого пропорционального используют следующие приемы:

-способ прямого приведения к 1;

-способ обратного приведения к 1;

-способ отношений;

-алгебраический метод.

Способ прямого приведения к единице

Этот способ состоит в том, что сначала узнают значение единицы одной из пропорциональных величин, а затем – значение указанного в условии количества. Причем к единице приводят величину, для которой даны 2 значения.

Способ обратного приведения к единице

Прием сводится к тому, что находят соответствующее значение единицы той величины, для которой в условии указанно лишь одно значение.

Пример. За 6 часов машинистка печатает 30 страниц текста. За сколько часов она напечатает 50 таких страниц, если будет работать так же равномерно?

Рассмотрим два способа решения задачи.

Способ прямого приведения к единице.

1. За какое время машинистка напечатает 1 страницу?

6 ч=360 мин

360:30 =12 (мин)

2. За сколько часов машинистка напечатает 50 страниц?

12*50=600

600 мин=10 ч.

Способ обратного приведения к единице.

1. Сколько страниц машинистка напечатает за 1 час?

30:6=5 (стр.)

2. За сколько часов будет напечатано 50 страниц?

50:5=10 (ч.)

Способ отношений

Пример. Бригада кузнецов изготовила за смену 84 топора, израсходовав 75 кг стали. Сколько нужно стали, чтобы изготовить 336 таких же топоров?

84 топ – 75 кг

336 топ - ?

1)336 : 84 =

2)75 * (336 : 84) =

Чем больше изготавливаем топоров, тем больше нужно стали

84 * 2 (т) 75 * 2 (кг)

84 * 3 (т) 75 * 3 (кг)

Необходимо узнать во сколько раз 336 больше 84, следовательно, во столько раз больше нужно стали.

Алгебраический метод.

Пример. В первую неделю типография получила с фабрики 6 рулонов бумаги одного сорта и перечислила за эту продукцию 204 рубля. Сколько рублей перечислила типография за месяц, если получила 10 таких же рулонов бумаги?

Анализ: цена одинаковая, Х – стоимость 10 рулонов.

Цена = 204 : 6

Х : 10

204 : 6 = Х : 10

Также этот способ применяется для решения задачи на движение.

Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального – подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.