3. Алгебраический метод решения задач.

Данный метод используется на практике учителями значительно реже, чем арифметический, хотя, несомненно, он является важным средством развития общего умения решать задачи [9].

Целью решающего задачу алгебраическим методом является запись текста задачи в виде уравнения, решая это уравнение определить искомое. Метод состоит из следующих шагов:

1) введение неизвестного;

2) выражение через это неизвестное и величин, о которых говориться в задаче;

3) составление уравнения;

4) решение уравнения;

5) осмысление результата и формулирование ответа.

Решающий задачу этим методом переводит ее текст с естественного языка на математический (пункты 1-3), решает задачу на математическом языке (пункт 4) и совершает обратный перевод результата (пункт 5).

Для того, чтобы алгебраический метод стал доступным для младших школьников, нужно максимально приблизить этот метод к арифметическому. Целесообразно так же, как и при арифметическом решении, начинать с анализа текста задачи. Его результатом должно стать построение вспомогательной модели – чертежа, схемы, таблицы, а иногда и рисунка.

Пример. У Иры втрое больше наклеек, чем у Кати, а у Кати на 20 наклеек меньше, чем у Иры. Сколько наклеек у Кати?

Отыщем в тексте величины, которые можно соединить знаком равенства. Эти величины запишем словами или, если это возможно, на математическом языке, или на смеси того и другого, получили схему уравнения. Это можно сделать несколькими способами:

1) (Ирины наклейки) : (Катины наклейки)=3

2) (Ирины наклейки) = (Катины наклейки)·3

3) (Ирины наклейки) - (Катины наклейки)=20 наклеек

4) (Ирины наклейки) – (Катины наклейки)+20 наклеек.

Сразу отбросим варианты, в которых неизвестное может оказаться в обеих частях уравнения (с такими случаями дети познакомятся лишь в 4 классе). Остаются первый и третий варианты. Из них лучше третий: вычитание легче деления. Итак, (Ирины наклейки) - (Катины наклейки)=20 наклеек.

Получилась вспомогательная модель задачи – частичный перевод текста на математический язык. В этой модели уже имеются математические символы: знак равенства и знак вычитания, число 20. Однако, во-первых, в ней также имеются и естественные слова, а кроме того, не весь текст задачи включен в этот перевод: не включено условие из первой фразы текста задачи. Чтобы довести перевод до конца, введем неизвестное, обозначив через него какую-либо величину. В задаче спрашивается, сколько наклеек у Кати. К тому же эта величина входит в схему уравнения. Будет разумно обозначит через x именно эту величину. Тогда схема уравнения будет выглядеть так: (Ирины наклейки)-x=20 наклеек.

Осталось выразить через x число Ириных наклеек. У нас осталось не использованным в уравнении число из первой фразы текста задачи: «У Иры втрое больше наклеек, чем у Кати». Значит, число наклеек у Иры равно x·3. Заменяя выражение (Ирины наклейки) на x·3 и опуская обозначение “наклеек” у числа 20, получаем уравнение: x ·3-x=20.

Приведем еще несколько задач, а к ним схему уравнений и уравнения. Задачи здесь трудные для детей младшего школьного возраста, но их анализ позволит быстро освоить предлагаемый метод решения:

Пример. На дереве сидят жуки и пауки. Всего их 20, а ног у них 150. Сколько на ветке жуков?

Схема уравнения:

(ноги жуков) + (ноги пауков)=150 ног

x-число жуков

(20 – x) -число пауков

Уравнение: x 6 + (20 - x) = 150.

Пример. В одном ящике было в 2 раза больше гвоздей, чем в другом. Когда из первого ящика взяли 30 гвоздей, а во второй ящик положили 70 гвоздей, то в обоих ящиках гвоздей стало поровну. Сколько гвоздей было в каждом ящике первоначально?

Схема уравнения:

(стало гвоздей в первом ящике) = (стало гвоздей во втором ящике)

x- число гвоздей во втором ящике первоначально

Уравнение:x · 2 – 30 = x + 70.

Итак, при решении текстовых задач алгебраическим методом целесообразно дополнить схему решения самым первым шагом – составлением схемы уравнения, в которую включаются как математические символы, так и нематематические – записи и даже рисунки. При решении задач с помощью уравнений можно использовать следующие приемы:

• в виде уравнения (неравенства) и его решения;

• через запись шагов с составлением уравнения и его решения;

• различные уравнения можно составить по одной и той же задаче в зависимости от выбора переменной или хода решения.

В этом случае можно говорить о различных алгебраических приемах решения задачи. Различные приемы решения могут отличаться выбором неизвестных, которые обозначаются буквой или же уравнениями, составленными по задаче.

Пример. На одном катере было в два раза больше людей, чем на втором. Когда на ближайшей пристани с первого катера сошло 98 человек, а со второго 16, то людей на обоих катерах стало поровну. Сколько людей было на каждом катере первоначально?

Прием 1: пусть x человек на втором катере, тогда (x*2) человек на первом катере. Зная, что с первого катера сошли 98 человек, получим (x·2-98) человек, со второго катера получим (x-16) человек. Зная, что на обоих катерах стало поровну человек, получим уравнение: x*2–98 = x-16.

Решив уравнение, получаем, что на втором катере было 82 человека, а на первом (x*2), то есть 82·2=164.

Прием 2: пусть x человек на первом катере, тогда на втором катере (x:2) человек. Зная, что с первого катера на пристани сошли 16 человек и людей на катерах стало поровну, получаем уравнение: x-98 = x:2 - 16.

Алгебраический метод способствует формированию умения у учащихся переводить условия задачи на математический язык.