Методы обучения решению математических задач.
Методическая литература изобилует описанием различных методов обучения детей решению задач. Все их можно разделить на две большие группы: общие и специальные методы.
К общим методам обучения решению математических задач относятся следующие: анализ и синтез, метод исчерпывающих проб, метод сведения, моделирование. Рассмотрим подробнее каждый метод.
Анализ и синтез являются самыми общими методами решения задач и находят широкое применение при решении любых задач (арифметической, на доказательство, на построение и т.п.). Анализ - это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.
Подробно данный метод рассмотрим при описании работы над текстовой задачей на этапе поиска пути решения задачи (лекция 3-4).
Метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление всех логических возможностей и отбор из них таких, которые удовлетворяют условию задачи. Если логических возможностей, соответствующих условию задачи, - конечное число, то может оказаться возможным перебрать все их и в ходе этого перебора выделить вполне удовлетворяющие условию. Методом исчерпывающих проб с большим успехом можно пользоваться и для решения многих логических задач [6].
Термин «перебор» используется в смысле разбора всех случаев. Наиболее близким ему понятием является «полная индукция», которую Л.П. Стойлова дает определяет как «метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях» [10].
При решении задач методом перебора нужно рассмотреть все возможные случаи, выделить те, которые удовлетворяют условиям задачи, показав, что других решений быть не может. При их решении должна быть выбрана определенная система перебора, которая давала бы полную уверенность в том, что рассмотрены все случаи. В этом состоят особенности и трудности предлагаемых задач для учащихся.
Задания, решаемые методом перебора, используются на уроках, во внеклассной работе, с учащимися и на математических олимпиадах.
Пример. Используя буквы О, П, Р, С, Т, составь разные слова из трех букв; четырех букв; пяти букв. Например: СОРТ
Каждое такое слово представляет собой размещение с повторениями «из пяти по три». Число таких размещений с повторениями равно 53 = 125. Перебирать с учащимися 125 вариантов буквосочетаний затруднительно. Однако можно заметить, что в каждом слове должна быть гласная буква. Значит, имеются следующие наборы букв, из которых можно составить слова: П,О,П; П,О.Р; П,О,С; П,О,Т; Р,О,Р; Р.О,С; Р,О,Т; С,О,С; С,О,Т; Т,О,Т.
Переставляя буквы в выписанных наборах, получаем слова: ПОП, ПОТ, ТОП, ОПТ, СОР, РОТ, ОРТ, ТОР, СТО и т.д. Возможно, что первоклассники услышат некоторые слова впервые, значит, обогатится их словарный запас. Особо надо поговорить о том, будут ли удовлетворять условию такие слова, как ТОТ, ПОР, СОТ, ООО (местоимение, существительные не в именительном падеже или аббревиатура).
В этом задании также требуется образовать четырехбуквенные и пятибуквенные слова из повторяющихся букв О, П, Р, С, Т. Это условие значительно усложняет задачу. Всех четырехбуквенных и пятибуквенных комбинаций из пяти букв соответственно 54 = 625 и 55 = 3125. Учащимся следует указать лишь на возможность упорядоченного перебора. Вряд ли стоит требовать от первоклассников полного решения этого задания, но сам учитель должен знать, по крайней мере, ход правильного (полного) решения задачи, тем более что она взята из школьного учебника.
Метод сведения, суть которого состоит в том, что данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся таким образом цепочки преобразований может быть состояние, простое рассмотрение которого дает требуемый результат. Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым задачам. Работа по решению задач арифметическим способом будет рассмотрена ниже.
Моделирование (математическое и предметное). Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, уравнения, неравенства, геометрические фигуры и т. д.
Математическое моделирование находит применение при решении многих текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью. Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и искомыми тоже является геометрической моделью задачи. Но нередко решению задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов, заданных в задаче, и др.).
Пример. Байдарка шла 5 ч со скоростью 4 км/ч, а остальное время - со скоростью 6 км/ч. Сколько часов она была в пути, если всего она прошла 38 км? Составляем схему:
Более подробно работа будет рассмотрена ниже (лекция 3).
Среди специальных методов решения задач выделяют следующие: