Глава 5

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

S 31. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ РАБОТЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

В реальных условиях на ход протекающих технологических про­цессов влияют возмущающие воздействия — изменение количест­венных и качественных характеристик материальных потоков. Это приводит к нарушению нормального режима работы оборудо­вания, т. е. к отклонению технологических переменных, характе­ризующих режим, от заданного значения. Для поддержания пара­метров на заданном уровне используют автоматические регуля-

торы, которые решают задачу стабилизации оптимальных режимов путем изменения количества регулируемой среды.

Описать работу автоматической системы можно словесно. Такое описание совершенно необходимо при решении любых за­дач, возникающих в автоматических системах, поскольку оно по­ясняет в первую очередь принцип действия конкретной системы.

Рассмотрим систему автоматического регулирования уровня жидкости H в баке (рис. 53). Возмущающими воздействиями яв­ляются изменения расхода. Если приток Q_п равен расходу Q_р, регулируемая величина Н в баке 1 объекта регулирования равна заданному значению Н_3ад. При нарушении равенства Q_п = Q_р уровень изменяется, что приво­дит к рассогласованию между текущим Н и Н_3ад, т. е. = =Н — Н_3ад. При отклонении уровня поплавок 2 перемещает движок потенциометра 3, ко­торый совместно с потенциомет­ром 4 образует мостовую схему. Напряжение разбаланса моста U подается на усилитель 5, на выходе которого включен реверсивный двигатель 6. Вал элек­тродвигателя связан с вентилем 7, являющимся регулирующим органом автоматической системы регулирования (АСР) уровня.

Направление вращения двигателя, а следовательно, открытие или закрытие вентиля 7 зависит от направления изменения уровня, т. е. от знака рассогласования . При увеличении уровня >0 вентиль уменьшит подачу Q_п, при уменьшении уровня <0 по­дача увеличится. Заданное значение уровня Н_3ад можно менять, перемещая движок потенциометра 4, что приводит к разбалансу моста, изменению притока Q_п, а значит, и уровня Н.

Словесное описание не может в полной мере характеризовать систему из-за отсутствия количественной оценки качества работы последней. Кроме того, существует много систем, различных как по назначению, так и по принципу действия, и описание каждой из них в отдельности не позволяет дать каких-либо обобщений и сравнить различные системы между собой. Поэтому для описания работы автоматических систем используются другие способы, по­зволяющие количественно и качественно описывать поведение си­стемы как в установившемся, так и переходных режимах. Работу любой автоматической системы в установившемся и пе­реходном режимах можно описать, использовав статические и ди­намические характеристики элементов системы.

Статической характеристикой называют за­висимость выходного параметра от входного в установившемся ре­жиме. Статические характеристики позволяют рассчитать величину изменения выходного параметра при известном изменении входного воздействия после достижения установившегося состояния.

Математическое выражение этой зависимости у = f (х) назы­вают уравнением статики. На рис. 54 приведены примеры статиче­ских характеристик элементов автоматических систем, которые могут быть линейными и нелинейными.

Линейная статическая характеристика представляет собой пря­мую, проходящую под некоторым углом к оси абсцисс (рис. 54, а). Угол наклона характеристики есть величина постоянная, а его тангенс определяет величину коэффициента передачи или коэффи­циента усиления k элемента: k = y/x.

Для нелинейных статических характеристик коэффициент пе­редачи в разных точках характеристики различен и определяется величиной тангенса угла наклона касательной к выбранной точке нелинейной характеристики.

Рис. 54. Статические характеристики: линейная (а), нелинейная (б) Рис. 55. Технологический объект управления

Большинство реальных объектов управления обладают нели­нейными статическими характеристиками, и их динамика описы­вается нелинейными дифференциальными уравнениями, решение которых весьма сложно. Поэтому важно рассмотреть возможность их линеаризации — замены нелинейной статической ха­рактеристики отрезками прямых линий. Линеаризация нелиней­ной статической характеристики возможна только в том случае, если она непрерывна и имеет непрерывное изменение производной во всем диапазоне кривой.

Для линеаризации заданной аналитически нелинейной стати­ческой характеристики у = f (х) ее раскладывают в окрестности значения входной величины х₀ в ряд Тейлора:

и приближенно заменяют f (х) двумя первыми членами этого ряда

y f(х₀)+ f’(х₀)(x -х₀)

т. е. кривую f (х) заменяют прямой, касательной к ней в точке х₀, с наклоном, соответствующим f’ (х₀).

При линеаризации нелинейных характеристик предполагается, что отклонения переменных от их установившихся значений остаются достаточно малыми.

Если статическая характеристика задана графически, для ее линеаризации в рабочей точке с абсциссой х₀ проводят касательную так, чтобы отрезки между кривой и касательной в диапазоне ре­альных изменений входной величины х₁ и х₂ были равны между собой у₁ = у₂, как показано на рис. 54, б.

Допустимость замены нелинейной функции прямой линией оце­нивается по величине возможных ошибок из-за расхождения, при­ближенно их можно оценивать по величине у₁ = у₂ на границе интервала изменения входной величины.

Динамические характеристики автоматиче­ской системы и ее элементов есть зависимости изменения выход­ного параметра во времени при известном законе изменения вход­ного воздействия. Динамические свойства автоматической системы и ее элементов могут быть описаны дифференциальными уравне­ниями, передаточными функциями, временными и частотными ха­рактеристиками.

Дифференциальные уравнения автоматической системы и ее элементов. Для аналитического описания динамических свойств элементов автоматических систем дифференциальными уравнениями используют самые разнообразные физические, химические и дру­гие законы. Наиболее часто применяют уравнения материального или энергетического балансов.

Рассмотрим пример составления дифференциального уравне­ния для некоторых простейших элементов систем автоматического регулирования. На рис. 55 в качестве элемента АСР показан объект регулирования, представляющий собой теплообменник, в который непрерывно подаются холодная вода и пар. Смешиваясь с горячим конденсатом, вода нагревается и, достигнув требуемой темпера­туры, подается потребителю. Выходной величиной в этом объекте является температура горячей воды, а входной — поток тепла, поступающий в теплообменник с паром и холодной водой.

Обозначим через Q₁ и Q₂ количество тепла, поступающего в теп­лообменник в единицу времени с холодной водой и паром соответст­венно, Q₃ —__количество тепла, выходящего из теплообменника в единицу времени с горячей водой.

При установившемся режиме потоки тепла, приходящие и ухо­дящие в теплообменнике, равны между собой: и температура горячей воды неизменна:

Если изменить параметры какого-либо из тепловых потоков или всех одновременно, температура станет изменяться, скорость этого изменения будет зависеть от величины изменения тепловых потоков и коэффициента А тепловой емкости объекта, «спустя не­которое время установится температура, соответствующая новому балансу тепловых потоков. В переходном режиме от одного уста­новившегося состояния в другое справедливо уравнение

где Q = Q—Q_o — изменение теплового потока.

Предположим, что количество тепла, поступающего с холодной водой, неизменно, т. е. Q₁ = 0, и возмущение наносится расхо­дом пара Q₂. Если принять во внимание, что изменение теплового потока Q₃ пропорционально изменению температуры горячей воды, ее удельной теплоемкости с и массе т, то Q₃ = cm , и дифференциальное уравнение в переходном режиме будет:

Обычно дифференциальные уравнения приводят к виду, при котором коэффициент при переменной равен единице. Разделив обе части уравнения на тс, получим

тогда в общем виде дифференциальное уравнение рассмотренного элемента АСР можно записать в виде

Введем обозначения:

Коэффициент Т — постоянная времени; К, — коэффициент пере­дачи объекта регулирования.

Таким образом, динамические свойства смешивающего тепло­обменника описывают линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Дифференциальное уравнение элемента или всей автоматиче­ской системы может иметь более высокий порядок и содержать производные не только выходной (в левой части уравнения), но и входной величины (в правой части).

В общем случае автоматическая система может быть описана линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффи­циентами в виде

Решение дифференциальных уравнений высокого порядка вы­зывает значительные трудности из-за необходимости определения корней характеристического уравнения и постоянных интегриро­вания, поэтому часто интеграл дифференциального уравнения на­ходят с помощью операторного метода Лапласа.

Передаточные функции. Это — особая форма записи преобра­зованного по Лапласу дифференциального уравнения. Использова­ние передаточных функций дает ряд преимуществ при исследова-

нии процесса регулирования, т. е. при решении дифференциаль­ного уравнения динамики. Преобразование Лапласа позволяет представить функцию вещественного переменного (времени) как функцию комплексного переменного. Это осуществляют с помощью прямого преобразования Лапласа по формуле

Исходная функция времени х (t) называется оригиналом, комплексная функция X (р) — изображением.

Сокращенно преобразование Лапласа записывают также в виде

Если известно изображение X (р) и требуется получить функ­цию времени, то оригинал находят по правилам обратного преоб­разования Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Умножение оригинала на постоянную величину а соответст­ вует умножению изображения на это же число: L [ax (t) ] = аХ (p)•

2. Суммирование оригиналов соответствует суммированию изо­ бражений L [х₁ (t) + х₂ (t)] = Х₁ (p) + Х₂ (р).

3. Дифференцированию оригиналов соответствуют следующие выражения для изображений:

При нулевых начальных условиях, если при t = 0 выходная величина х (0) и все ее производные х' (0) ... х^n-1 (0) равны 0,

получим

Таким образом, в этом случае n-кратному дифференцированию оригинала соответствует просто умножение на р^п его изображения.

Пользуясь свойствами преобразования Лапласа 1, 2 и 3 при нулевых начальных условиях дифференциальное уравнение си-

4. Интегрирование интеграла соответствует делению изобра­жения на р

стемы (16) можно привести к виду

Таким образом, в области изображений дифференциальные урав­нения превращаются в алгебраические, а операции дифференци­рования и интегрирования заменяются соответственно умноже­нием или делением на оператор р. Это не только упрощает процесс решения сложных задач, но и открывает новые возможности пере­работки информации о динамических свойствах сложных систем по заданным характеристикам элементов системы.

Решение дифференциального уравнения с помощью преобразо­ваний Лапласа основано на том, что в заданном уравнении выра­жения для неизвестной функции и ее производных, а также функ­ций, характеризующих возмущающее воздействие, заменяют со­ответствующими изображениями. Таким образом получается вспо­могательное уравнение в изображениях — алгебраическое. Из этого уравнения находят изображение искомой функции.

Основная трудность при использовании этого метода заклю­чается не в решении уравнения, а в переходах от оригинала функ­ции к ее изображению и обратно. Практические операции прямого и обратного преобразования Лапласа осуществляют с помощью таблиц оригиналов и изображений, приводимых в справочниках.

Полученное вспомогательное уравнение (17) в изображениях несет ту же информацию о динамике системы, что и исходное диф­ференциальное. Но поскольку это уравнение алгебраическое, по­является возможность динамику системы характеризовать отно­шением изображений выходного сигнала Y (р) к входному X (р). Такое отношение представляет собой алгебраическое выражение и с его помощью простейшим образом непосредственно (не переходя к оригиналу решения) могут быть получены выражения, характе­ризующие как динамические, так и статические свойства анали­зируемой системы. Это отношение называют передаточной функ­цией системы

Из выражения (18) и определения передаточной функции сле­дует, что Y(p) = W(p) X (р), т. е. изображение выходной вели­чины равно произведению изображения входной величины на пе­редаточную функцию этого элемента или системы.

Передаточные функции широко используются при исследовании автоматических систем регулирования. На изучении ее свойств основаны все современные методы анализа качества автоматиче­ских систем, не требующие непосредственного решения дифферен­циального уравнения.

Временные характеристики автоматической системы и ее эле­ментов. Временными характеристиками системы называют зависи-

мости от времени значений выходной величины при поступлении на вход некоторого типового воздействия. Наиболее важная вре­менная характеристика — реакция системы на единичное ступен­чатое воздействие входной величины, так как этот режим работы наиболее часто возникает в системе при ее включении, изменении режима и т. д. Таким образом, под временной характеристикой понимается процесс изменения выходной величины в функции вре­мени при переходе системы из одного равновесного состояния в дру­гое в результате поступления на вход единичного ступенчатого воздействия.

Дифференциальное уравнение системы тоже определяет изме­нение выходной величины во времени, поэтому временная характе­ристика представляет собой графическое решение дифференциаль­ного уравнения системы для единичного входного воздействия при нулевых начальных условиях, и следовательно, характеризует динамические свойства системы.

Так как временные характеристики системы могут быть полу­чены не только путем решения дифференциального уравнения си­стемы, но и экспериментально, то возможность изучения динамики системы по временной характеристике имеет важное практическое значение, поскольку в этом случае не требуется находить и решать дифференциальные уравнения.

Если в течение всего времени перехода системы из одного устой­чивого состояния в другое единичное входное воздействие (рис. 56, а)

X_BX=

остается приложенным к звену или системе, то в этом случае вре­менную характеристику принято называть переходной функцией элемента или системы. Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой системы. Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие в виде дельта-функции (рис. 56, б)

(t)=

называется импульсной переходной функцией. Ее графическое изо­бражение называется импульсной переходной характеристикой эле­мента или системы.

С учетом этих соотношений получаем

При поступлении на вход элемента или разомкнутой системы с передаточной функцией W (р) входной величины х_вх0 = 1 на выходе получаем временную характеристику у_вых (t) = h(t). При этом изображения входной и выходной величины равны:

Из выражения (19) следует, что по временной характеристике системы можно получить передаточную функцию системы.

Частотные характеристики автоматических систем и их элемен­тов. Для описания поведения системы и ее элементов широко ис­пользуют частотные характеристики, которые определяют их ди­намику при воздействии на их вход гармонических колебаний вида x_ВХ (t) = A_ВХl sin ( ₁t), где A_ВХl — амплитуда входных колеба­ний; ₁ — угловая частота колебаний; t— время.

Если автоматическая система линейная, то на ее выходе также устанавливаются синусоидальные колебания с частотой _1; но с ам­плитудой A_ВХl. сдвинутые по фазе относительно входного сиг­нала на угол (рис. 57): у_ъых (t) = = A_ВХl sin ( ₁t— ₁).

Рис. 56. Типовые входные воздействия: скачкообразное (а), импульсное (б) Рис. 57. Входные и выходные величины

Амплитуда А_вых1 и фаза ₁ выходных колебаний зависят от динамических свойств системы, частоты и амплитуды входных ко­лебаний. Знак минус перед обусловлен тем, что у реальных элементов автоматических систем выходное колебание отстает по фазе от входного.

Запишем х_вх (t) и у_вых (t) в комплексном виде:

где j = ,

Отношение выходных колебаний системы у_вых (t) к входным х_вх (t), выраженным в комплексном виде, называют комплексным коэффициентом передачи системы при частоте ₁

С изменением частоты колебаний на входе при постоянной ам­плитуде A_вх амплитуда выходных колебаний A_вых и фазовый сдвиг будут меняться, что вызовет изменение комплексного коэффици­ента передачи системы. Совокупность всех значений комплексного коэффициента передачи при изменении от 0 до называют ком­плексной частотной характеристикой системы или ампли­тудно-фазовой характеристикой (АФХ) си­стемы и обозначают через W (j ),

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных коле­баний от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают через А ( ) (рис. 58, о). Зависимость фазового сдвига выходных колебаний относительно входных от частоты колебаний называют ф а з о -частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают через ( ) (рис. 58, б). Эти частотные характеристики связаны между собой уравнением

Графически АФХ представляет собой кривую, называемую годографом, описываемую на комплексной плоскости концом век­тора, модуль которого равен значениям A( ), а аргумент — ( ) при изменении частоты от 0 до (рис. 58, в).

Рис. 58. Частотные характеристики: амплитудно-частотная (а), фазо-частот-ная (б), амплитудно-фазовая (в)

Проекцию АФХ на действительную ось комплексной плоскости называют вещественной частотной характеристикой и обозначают через R ( ), а проекцию на мнимую ось — мнимой частотной ха­рактеристикой и обозначают через I ( ).

Частотные характеристики могут быть определены одна через другую с помощью следующих зависимостей:

Частотные характеристики могут быть получены эксперимен­тально или из дифференциального уравнения системы. Если задана

то для получения производной ее надо умножить на функцию j

Для получения второй производной функцию умножают на (j )²: (d²x)/(dt²) = (j )²х и т. д.

Подставив в дифференциальное уравнение выражения для вход­ных и выходных установившихся колебаний, получим АФХ:

Таким образом, для получения АФХ достаточно в передаточ­ную функцию системы вместо оператора р подставить j . При этом необходимо избавиться от мнимости в знаменателе, для чего дробь умножают и делят на комплексно-сопряженный знаменателю член.