Выборочная средняя и дисперсия

Пример 14. Выборка задана в виде распределения частот:

X_i 1 3 5

n_i 2 5 3

Вычислить выборочную среднюю и дисперсию. Составить распределение относительных частот.

Решение:

1. Найдем выборочную среднюю.

X_B = (∑ n_i X_i) / n = 3,2

2. Найдем дисперсию

D_B = [ ∑ n_i ( X_i – X_B)² ] / n = [2(1 – 3,2 )² + 5 (3 – 3,2 )² + 3 (5 – 3,2 )²] / 10 = 1,96

3. Найдем объем выборки n = ∑ n_i = 10. Относительные частоты посчитаем по формуле w = n_i / n. Распределение относительных частот имеет вид

X_i 1 3 5

w_i 1 / 5 1 / 2 3 / 10

Интервальная оценка

Пример 15. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания μ нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю X_B = 14, объем выборки n = 36 и среднее квадратичное отклонение _x = 6.

Интервальная оценка определяется двумя числами  концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Интервальной оценке ставится в соответствие вероятность (доверительная вероятность или надежность ), с которой эта оценка накроет неизвестный параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью  покрывает неизвестный параметр.

Интервальной оценкой с заданной надежностью  математического ожидания μ нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней X_B при известном среднем квадратическом отклонении _x генеральной совокупности служит доверительный интервал

X_B  t (_x / ) < μ < X_B + t (_x / ),

где t (_x / )  точность оценки,

n  объем выборки,

t  значение аргумента функции Лапласа Ф( t ) (см. приложение 2 в основной литературе [5], [6] ), при котором Ф( t ) =  / 2.

Запишем доверительный интервал:

X_B  t (_x / ) < μ < X_B + t (_x / )

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,95 / 2 = 0,475. По таблице приложения 2 (см. основную литературу [5], [6]) находим t = 1,96.

Подставив данные, получим искомый доверительный интервал

12,04 < μ < 15,96

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Что такое дискретные случайные величины?

2. Закон распределения дискретных случайных величин.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины, основные свойства.

4. Дисперсия дискретной случайной величины, основные свойства.

5. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

6. Непрерывные случайные величины.

7. Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

8. Что такое выборочная средняя?

9. Что такое выборочная дисперсия?

10. Что такое интервальная оценка?

11. Что такое доверительная вероятность?

12. Интервальная оценка.

13. Выборка задана в виде распределения частот:

X_i 4 6 7

n_i 20 30 50

Найти распределение относительных частот. Вычислить выборочную среднюю и дисперсию.

14. Выборка задана в виде распределения частот:

X_i 2 5 10

n_i 5 7 8

Найти распределение относительных частот. Вычислить выборочную среднюю и дисперсию.

15. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания μ нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю X_B = 15, объем выборки n = 49 и среднее квадратичное отклонение _x = 8.

16. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания μ нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю X_B = 10, объем выборки n = 25 и среднее квадратичное отклонение _x = 4.