Вопросы и упражнения для самоконтроля:

Формула нахождения расстояние между двумя точками.

1. Что называется медианой?

2. Что называется высотой?

3. Записать условие перпендикулярности и параллельности двух прямых.

4. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

5. Уравнение прямой линии в отрезках

6. Уравнение прямой линии, проходящей через две точки.

7. Даны координаты вершины треугольника АВС. Построить чертеж и найти:

а) длину стороны ВС;

б) уравнение высоты, проведенной из вершины А и ее длину;

в) уравнение медианы, проведенной из вершины А;

г) уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС;

д) площадь треугольника.

а) А(0; 2), В(4; 4), С(8; 2) б) А(2; 5), В(- 6; - 2), С(7; 3)

Системы линейных алгебраических уравнений

Решить систему линейных уравнений, применяя правило Крамера

Чтобы применять правило Крамера, необходимо уметь находить определители (для нашего примера – определители третьего порядка).

Определителем третьего порядка называется число ∆, которое считается по следующему правилу:

= =

₌ а₁₁  а₂₂  а₃₃ + а₁₂  а₂₃  а₃₁ + а₂₁  а₃₂  а₁₃ – а₃₁  а₂₂  а₁₃ – а₂₁  а₁₂  а₃₃ – а₃₂  а₂₃  а₁₁

Составим определитель для нашей системы уравнений из коэффициентов перед неизвестными и посчитаем его:

= =1 3  3 + 2  2  1 + 2  (–1)  1 – [1  3  1 + 2  2  3 + (–1)  2  1] = – 2

Далее составляем определители ∆_x1 , ∆_x2, ∆_x3, для этого у определителя ∆ меняем соответственно первый, второй и третий столбик на свободные члены нашей системы уравнений и находим их

_x1 = = –3, _x2 = = 0, _x3 = = 1

Определитель системы отличен от нуля, т.е. система имеет решение, которое вычисляется:

X₁ = ∆_x1 / ∆ = 3/2, X₂ = ∆_x2 / ∆ = 0, X₃ = ∆_x3 / ∆ = – 1/2

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Определитель третьего порядка, его свойства.

2. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

3. Разложение определителя по строке или столбцу.

4. Матрица, основные свойства, виды. Операции над матрицами.

5. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

6. Формулы Крамера.

7. Пользуясь формулами Крамера, решить системы линейных уравнений:

а) б)

Пределы функций

Раскрытие неопределенностей вида 0 / 0 и  / 

Пример 1. Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида 0 / 0. Необходимо избавится от неопределенности. Для этого разложим числитель на множители и сократим на общий множитель (Х + 2), который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Получим:

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность 0 / 0 ликвидирована. Применяя теоремы для пределов, окончательно находим

Пример 2. Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида 0 / 0. Необходимо уйти от неопределенности. Для этого применим первый замечательный предел

Пояснение: вынести постоянный множитель 2 за знак предела. Под пределом числитель и знаменатель умножим на 4, вынести множитель 4 и применить первый замечательный предел.

Пример 3. Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида /. Разделим на Х числитель и знаменатель дроби, а затем, применив теоремы для пределов, получим

Замечание: .

Пример 4. Найти .

Решение:

Имеем неопределенность вида  / . Разделим на X² числитель и знаменатель дроби, а затем, применив теоремы для пределов, получим

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Дайте определение предела функции в точке.

2. Основные теоремы для пределов.

3. Первый и второй замечательные пределы.

4. Что такое неопределенности в математике, их виды?

5. Методы нахождения пределов

6. 

7. 

8. 

9. 

Применение производной

Нахождение экстремумов функций

Пример 5. Найти экстремумы функции Y = X ³  3 X

Решение:

Найдем область определения функции (   ; +  ).

1. Найдем первую производную от заданной функции и приравняем ее к нулю:

Y¹ = 3 X ²  3 = 0

2. Решаем это уравнение. Найденные корни будем исследовать на экстремум:

X₁ =  1, X₂ = 1

3. Эти корни разбивают ось 0X на три интервала:

1) от   до – 1,

2) от – 1 до 1,

3) от 1 до + . (см. Рис. 2)

3. Найдем знак первой производной в каждом из этих интервалов. Для этого берем любое численное значение из интервалов и подставляем в производную:

1) Y¹ ( 2) = 9 > 0, 2) Y¹ ( 0) =  3 < 0, 3) Y¹ ( 2) = 9 > 0

3. Если первая производная на интервале больше нуля, то функция возрастающая на нем, если первая производная меньше нуля – функция убывающая.

6. Если знак первой производной меняется при переходе через X₁ = 1 и X₂ = 1, то это показывает, что есть экстремумы, причем, если знак первой производной меняется с (+) на (), то в этой точке экстремум максимум, если с () на (+)  экстремум минимум.

Y¹>0 Y¹<0 Y¹>0

–  – 1 0 1 + 

Y – возрастает Y – убывает Y – возрастает

max min

Рис. 2. Графическое пояснение к нахождению экстремумов.

6. В нашем примере в точке X₁ = – 1 – экстремум максимум, Y(–1) = 2, в точке X₂ = 1– экстремум минимум, Y(1) = – 2.

Ответ: Y_max (– 1) = 2; Y_min ( 1) = – 2.