Дифференциальные уравнения

Пример 11. Решить дифференциальное уравнение первого порядка

dY / (Х ³ – 6 ) - Y dX = 0, Y = 1 при X = 0

Решение:

1. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные. Для этого, используя алгебраические преобразования, соберем в одной части уравнения X, dX, а в другой – Y, dY.

dY / Y = (Х ³ – 6 ) dX

2. Интегрируем левую и правую части, полученного уравнения.

dY / Y = (Х ³ – 6 ) dX

3. Результат интегрирования дает общее решение дифференциального уравнения.

ln Y = Х ⁴ / 4 – 6X + C,

где С – константа интегрирования.

4. Найдем частное решение. Для этого в общее решение подставим начальные условия (Y = 1 при X = 0) и найдем константу интегрирования С. Константа интегрирования С = 0. Частное решение запишется в виде

ln Y = Х⁴ / 4 – 6X или Y = exp (Х⁴ / 4 – 6X)

Ответ: Y = exp (Х⁴ / 4 – 6X).

Пример 12. Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Y¹¹  6 Y¹ + 9Y = 0

Решение:

Составляем характеристическое уравнение.

k²  6 k + 9 = 0

Решая это квадратное уравнение, находим k₁ = k₂ = 3 (корни равные).

1. Если корни равные, то общее решение запишется

Y = (C₁ + C₂ X) e^3X

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Какие уравнения называются дифференциальными?

2. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

3. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение частного решения дифференциального уравнения первого порядка.

5. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

6. Решить дифференциальные уравнения и найти частное решение

(X + 1)² dY  (Y  2)³ dX = 0, Y = 0 при X = 0;

(X Y + X) dX + (Y X + Y) dY = 0, Y = 1 при X = 0.

7. Решить однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) Y¹¹  2 Y¹ + 4Y = 0; б) Y¹¹  2Y¹ = 0

Элементы теории вероятностей

Пример13. В коробке 4 красных и 6 зеленых шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они зеленого цвета (событие В)?

Решение:

1. Число равновозможных независимых исходов равно

n = C²₁₀ = 10! / ( 2! 8!) = 9 ×10 / 2 = 45

2. Найдем число исходов k, благоприятствующих событию B. Среди двух взятых наугад шаров должно быть два зеленых. Два зеленых из шести можно выбрать C²₆ = 6! / (2! 4!) = 5 × 6 / 2 = 15 способами, то есть k = 15.

3. Следовательно, Р (В) = 15 / 45 = 1 / 3.

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Какое событие называется невозможным, достоверным?

2. Какое событие называется несовместными, равновозможными?

3. Что понимается под вероятностью события?

4. Дайте классическое определение вероятности события.

5. Формула Бернулли.

6. Формула полной вероятности.

7. Формула Байеса.

8. Имеется 100 деталей, из которых 6% бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь является бракованная?

9. На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «Гжель»?

10. В коробке 4 красных и 6 белых шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета?