Ташлыкова-Бушкевич - Физика. В 2 ч. Ч. 2. Оптика. Квантовая физика. Строение и физические свойства вещества (2014)

кванта ω не может быть больше энергии электрона eU . Отсюда следует, что частота ω излучения не может превышать значения ωmax = eU . Значит, длина волны излучения не может быть меньше, чем

При достаточно большой скорости электронов будет также иметь место характеристическое излучение – рентгеновское излучение линейчатого спектра (см. подтему 28.8). В этом случае коротковолновая граница рентгеновского спектра, определяемая формулой (25.21), также присутствует.

Существование коротковолновой границы тормозного рентгеновского спектра, не зависящей от материала антикатода и определяемой только напряжением на трубке, является одним из наиболее ярких проявлений квантовых свойств рентгеновского излучения. Зависимость граничной частоты от ускоряющего напряжения ωmax = ωmax (U ) позволяет с высокой точностью определить значение постоянной Планка , совпадающее со значением, получаемым из законов теплового излучения.

Рентгеновские трубки используются в рентгеноструктурном анализе, рентгеноспектральном анализе, рентгенодиагностике, дефектоскопии и т.д. В настоящее время среди источников фотонов для фотоэмиссионных измерений кроме лабораторных источников (рентгеновские трубки) активно используют источники синхротронного излучения.

Если большинство лабораторных источников дает рентгеновское излучение в диапазоне от 1 до 10 кэВ, то с помощью синхротронного источника можно получить широкий диапазон энергий фотонов от нескольких единиц до нескольких тысяч электронвольт. При этом синхротронное излучение испускается ускоряемыми электронами с энергией порядка гигаэлектронвольт, которые циркулируют по кольцу ускорителя. Присутствие сигналов в виде пиков на спектрах фотоэлектронов свидетельствует о наличии в поверхностной области образца того или иного элемента. Иллюстрацией этому (рис. 25.9) служат рентгеновские фотоэлектронные спектры металлических образцов – быстрозатвердевших фольг чистого алюминия и сплава Al–Cr, полученные на синхротроне третьего поколения «Элеттра» («Elettra»), Италия. Как видно на спектрах, элементный состав поверхности материала на качественном уровне определяется, если сравнить энергии пиков на экспериментальном спектре с известными энергиями связи в элементах. Толщина анализируемого слоя определяется средней длиной свободного пробега фотоэлектронов и составляет порядка 5–25 Å для металлов и оксидов.

62

Y, имп/с

Кинетическая энергия (эВ)

Рис. 25.9. Обзорные рентгеновские фотоэлектронные спектры от фольг алюминия и сплава Al–Cr (Tashlykova-Bushkevich et al., 2013)

25.6. Фотоны. Импульс фотона. Давление света

Экспериментально, в частности в опытах по фотоэффекту, было доказано, что электромагнитное излучение способно вести себя как частица – фотон. Свет частоты ω по Эйнштейну – это поток фотонов с энергией ω. Свет распространяется в вакууме со скоростью с. Таким образом, фотон (γ) – квант электромагнитного поля – это подлинно релятивистская частица. Фотон является безмассовой частицей (экспериментальное ограничение mγ < 5 10−60 г ). Энергию и импульс фотона необходимо вычислять по формулам специальной теории относительности.

Из соотношения (9.27), связывающего энергию Е и импульс р движущейся релятивистской частицы,

где k = 2πλ – волновое число.

63

Записав импульс в векторной форме, получим для энергии и импульса фотона следующие выражения:

где k – волновой вектор. Направление импульса совпадает с направлением распространения света, характеризуемым волновым вектором k , модуль которого равен волновому числу.

Соотношения (25.24) связывают квантовые (корпускулярные) характеристики фотона – энергию ε и импульс p – с волновыми характеристиками света – его частотой ω и волновым вектором k .

Рассмотрим свойства фотона. Единственное состояние фотона – это движение с предельной скоростью света с, одинаковой во всех системах отсчета. Не существует системы отсчета, в которой бы он покоился. Фотон в состоянии покоя – понятие, лишенное физического смысла. Попытка остановить фотон или изменить направление его движения равносильна его уничтожению. Такое выражение, как «фотон рассеялся на такой-то частице», широко используют, но лишь постольку, поскольку это не противоречит рассмотрению некоторых явлений с энергетической точки зрения.

Следует особо подчеркнуть, что фотон не похож на обычную частицу (корпускулу), лишь некоторые свойства фотона напоминают свойства частицы.

Корпускулярно-волновой дуализм. Из опытных фактов следует, что свет обладает одновременно волновыми свойствами (интерференция, дифракция, поляризация) и корпускулярными, которые проявляются в процессах взаимодействия света с веществом (испускания, поглощения, рассеяния).

Таким образом, свет имеет двойственную природу и обнаруживает корпускулярно-волновой дуализм. Наглядно представить корпускулярноволновой дуализм невозможно. Представления о волнах или частицах – это абстракции нашего разума. Как современная физика истолковывает корпускулярно-волновой дуализм, обсуждается в теме 26.

Давление света. Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фотонов импульса является существование светового давления. С квантовой точки зрения давление света на поверхность какого-либо тела обусловлено тем, что при соударении с этой поверхностью каждый фотон передает ей свой импульс. Отражение света от поверхности тела, строго говоря, следует рассматривать как сложный процесс «переизлучения» фотонов – падающий фотон поглощается поверхностью, а затем вновь излучается ею с противоположным направлением импульса. При этом давление света на поверхность должно быть таким же, как если бы фото-

64

ны зеркально отражались от поверхности подобно абсолютно упругим шарикам. В дальнейшем будем пользоваться этим формальным приемом, условно рассматривая процессы отражения и рассеяния света как процессы отражения и рассеяния фотонов.

Важно отметить, что давление света одинаково успешно объясняется как волновой, так и квантовой теорией света.

Пусть поток монохроматического излучения частоты ω падает перпендикулярно поверхности тела. Если за 1 с на 1 м2 поверхности тела падает N фотонов, то при коэффициенте отражения света ρ от поверхности тела отразится ρN фотонов, а поглотится (1− ρ)N фотонов. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс p = Ec , а каждый отраженный фотон – 2 р . Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности N фотонов за 1 с:

P = 2 cω ρN + cω(1− ρ)N = (1+ρ) cω N.

Энергетическая освещенность поверхности – это энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени:

E

Объемная плотность энергии излучения w = ce . Отсюда имеем

25.7.Эффект Комптона

В1922–1923 гг. А. КоXмптон на веществах, состоящих из легких атомов (парафин, графит и т.д.), обнаружил и исследовал эффект, подтверждающий фотонную теорию света (Нобелев-

65

дом. Диафрагмы D1 и D2 выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который затем падал на исследуемый образец О. После прохождения ряда диафрагм рассеянное излучение попадало на кристалл K рентгеновского спектрографа, а затем в счетчик С (или на фотопластинку).

Комптон установил, что в рассеянном на «свободных» (или слабосвязанных) электронах вещества коротковолновом электромагнитном излучении (рентгеновское и γ-излучение) наряду с исходной длиной волны λ появляется смещенная линия с длиной волны λ′ > λ. Увеличение длины волны Δλ = λ′ − λ называется комптоновским смещением.

Комптоновское смещение Δλ = λ′ − λ для всех веществ одинаково и не зависит от длины волны λ падающего излучения. На тяжелых атомах эффект труднее наблюдать из-за малой интенсивности смещенного компонента.

Увеличение Δλ определяется только углом рассеяния θ между направлениями рассеянного и падающего излучений:

где λ′ – длина волны рассеянного излучения; λС – комптоновская длина волны частицы массой m. При рассеянии на электроне

mec

С увеличением угла θ интенсивность несмещенного компонента уменьшается, а смещенного – растет.

Явление комптоновского рассеяния лежит в основе действия некоторых гамма-спектрометров, а также используется при изучении γ-излуче- ния атомных ядер и поляризуемости элементарных частиц и ядер.

Объяснение эффекта Комптона. Классическая теория не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния. Для его описания необходимо считать, что падающее излучение состоит из отдельных фотонов.

Комптон показал, что для объяснения сдвига длины волны рассеяние рентгеновского кванта надо рассматривать как результат одиночного акта упругого столкновения фотона со «свободным» покоящимся электроном вещества. Отметим, что в легких атомах энергией связи электрона внутри атома можно пренебречь при всех углах рассеяния θ, т.е. все электроны можно считать «свободными». Энергия, передаваемая фотоном при столкновении, будет тем больше, чем больше угол рассеяния.

66

Происхождение несмещенного компонента в спектре рассеянного излучения обусловлено внутренними электронами атомов мишени. Если электрон сильно связан с атомом, то фотон обменивается импульсом и энергией с атомом в целом. Действительно, внутренние электроны нельзя рассматривать как «свободные». Их энергия связи, особенно в тяжелых атомах, сравнима с энергией рентгеновских фотонов.

Применив к столкновениям фотонов и электронов законы сохранения энергии и импульса, в рамках упрощенной теории эффекта получим формулу (25.27). Процесс комптоновского рассеяния будем рассматривать на основе релятивистской динамики, поскольку фотоны – релятивистские частицы.

Фотон с энергией ε = ω и импульсом p = ωc , столкнувшись с по-

На основе теоремы косинусов для треугольника импульсов запишем:

pe2 = p2 + p′2 − 2 p′pcosθ.

Следовательно, выразим из (25.28) E′2, найдем pe2, а затем используем формулу (25.22) для релятивистской энергии электрона после столкновения:

E′2 = (E0 + ε − ε′)2 = ε2 + ε′2 + me2c4 − 2εε′ + 2εmec2 − 2ε′mec2,

pe2 = (εc)2 +(ε′c)2 − 2(εε′c2 )cosθ = (ε2 + ε′2 − 2εε′cosθ)c2 ,

E′2 − pe2c2 = me2c4.

67

Вычтем из выражения E′2 выражение ( pec)2, приравняв полученный результат к me2c4:

ε2 + ε′2 + me2c4 − 2εε′ + 2εmec2 − 2ε′mec2 − (ε2 + ε′2 − 2εε′cosθ) =

=me2c4 + 2εε′(cosθ −1)+ 2εmec2 − 2ε′mec2 = me2c4.

Тогда получаем

2mec2(ε − ε′) = 2εε′(1− cosθ),

λ′ − λ = λC (1− cosθ).

Полученное уравнение совпадает с уравнением (25.27), что и требовалось доказать.

Таким образом, комптоновский эффект является одним из механизмов, определяющим потери энергии при прохождении γ-излучения через вещество. Чем больше энергия фотона, тем в меньшей степени проявляется связь электрона с атомом, тем больше электронов, которые можно считать «свободными». Поэтому для наблюдения эффекта Комптона нужно использовать жесткое рентгеновское излучение. В видимой области спектра данный эффект не наблюдается. Энергия соответствующих фотонов настолько мала, что даже внешние электроны атома нельзя считать «свободными».

Необходимо отметить, что теория эффекта, предложенная Комптоном, не позволяет определить все характеристики комптоновского рассеяния, в частности зависимость интенсивности рассеяния от λ и θ. Точная релятивистская теория эффекта была разработана в рамках квантовой электродинамики.

Исторически именно обнаружение настоящего эффекта было одним из главных экспериментальных доказательств корпускулярной природы электромагнитного излучения, в частности света.

68

ÒÅÌÀ 26. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ

26.1.Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона — Джермера

В1923 г. французский физик Л. де Бройль развил представления о кор- пускулярно-волновом дуализме. Он высказал следующую гипотезу: материальные частицы (электроны и другие материальные тела) с массой, отличной от нуля, обладают и корпускулярными (энергия Е и импульс р),

иволновыми (частота ω и длина волны λ) свойствами.

Де Бройль предположил, что соотношения между корпускулярными и волновыми характеристиками материальной частицы массой т, которая движется со скоростью v, такие же, как для фотона (25.23а):

где λ – дебройлевская длина волны частицы с импульсом р.

Таким образом, с любой частицей, обладающей импульсом, сопоставляется волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

П р и м е р. Вычислить дебройлевскую длину волны мяча массой 0,20 кг, летящего со скоростью 15 м/с.

Р е ш е н и е. Согласно формуле (26.1а), для мяча длина волны де Бройля:

Это чрезвычайно малая длина волны. Даже при крайне низких скоро-

стях, скажем 10–4 м/с, дебройлевская длина волны λ составляла бы примерно10−29 м.

Дебройлевские длины волн обычных тел настолько малы, что волновые свойства макроскопических тел обнаружить не удается. Действительно, типичные волновые свойства – интерференция и дифракция – проявляются тогда, когда размеры предметов или щелей сравнимы по своей величине с длиной волны. Однако нам не известны предметы или щели размером 10−30 м. Другое дело, если речь идет, например, о таких частицах, как электрон. Поскольку масса т входит в знаменатель формулы (26.1а), определяющей дебройлевскую длину волны, то очень малой массе соответствует большая длина волны.

69

Микрочастицами называют элементарные частицы – электроны, фотоны, протоны, нейтроны и другие простые частицы, а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (атомы, молекулы, ядра атомов и т.п.).

П р и м е р. Определить дебройлевскую длину волны электрона, ускоренного разностью потенциалов U = 100 В.

Р е ш е н и е. Связь импульса частицы с ее кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы намного меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда величина кинетической энергии частицы сравнима с ее энергией покоя). Поскольку энергия покоя электрона mec2 ≈ 0,5 МэВ, то eU << mec2 и скорость ускоренного электрона намного меньше скорости света с. Согласно формулам нерелятивистской механики приращение кинетической энергии равно уменьшению потенциальной энергии, поэтому

Волны такой длины можно обнаружить экспериментально по их дифракции на естественной дифракционной решетке – атомах кристалла.

Опыты Дэвиссона – Джермера. Формула де Бройля была экспериментально подтверждена в 1927 г. в опытах американских физиков К. Дэвиссона и Л. ДжеXрмера (Нобелевская премия, 1937 г.). Они исследовали рассеяние узкого пучка электронов одинаковой скорости, падающих на поверхность металлического кристалла – монокристалла никеля (кубическая система), сошлифованного таким образом, как показано на рис. 26.1, а. Одновременно измерялось ускоряющее напряжение электронов U и положение детектора Д. Расстояние между атомными плоскостями d определялось независимо, например используя дифракцию рентгеновских лучей.

Исследуя распределение электронов, рассеянных от атомных плоскостей кристалла, при изменении U они обнаружили регулярные максимумы тока, измеренного детектором, в зависимости от U 1 2, (рис. 26.1, б). Когда данные пики были интерпретированы на основе дифракционной картины, оказалось, что длина волны дифрагирующего электрона совпадает с предсказанной де Бройлем (26.1а). Отметим, что эксперименты были выполнены при нормальном падении электронов на поверхность кристалла, а также при поворотах кристалла.

70