Ташлыкова-Бушкевич - Физика. В 2 ч. Ч. 2. Оптика. Квантовая физика. Строение и физические свойства вещества (2014)

(1859): отношение спектральной плотности энергетической светимости к поглощательной способности тела не зависит от природы тела и является универсальной для всех тел функцией частоты и температуры rω,T :

где универсальная функция Кирхгофа rω,T есть испускательная способность черного тела (для него aω,T =1 ). Энергия, испускаемая черным телом с единицы его поверхности за единицу времени во всех направлениях, т.е. в телесном угле 2π, определяет его испускательную способность:

rω,T = π Iω,T .

Таким образом, учитывая закон (25.5), можно констатировать, что отношение Rω,T aω,T не зависит от материала тела и равно испускательной способности черного тела rω,T при той же температуре и частоте. Поэтому важной задачей теории теплового излучения является нахождение явной зависимости испускательной способности черного тела от частоты (длины волны) и температуры либо связанной с ней величины, которая в случае равновесного излучения также зависит только от частоты (или длины вол-

где uω,T – спектральная плотность энергии равновесного излучения; с –

скорость света в вакууме. Величина uω,T характеризует распределение энергии излучения по частотам при заданной температуре, поскольку uω,T = duωdω , где duω – доля плотности энергии излучения, приходящаяся на единичный частотный интервал dω.

Интегрируя uω,T по всем частотам, определяют объемную плотность излучения, т.е. полную энергию равновесного излучения в единице объема:

где uω,T dω – энергия единицы объема излучения при температуре Т с частотами в интервале от ω до ω + dω .

Из закона Кирхгофа (25.5) энергетическую светимость нечерного тела можно представить как

51

Энергетическая светимость черного тела Re зависит только от температуры:

Зная объемную плотность теплового излучения по всем частотам, энергетическую светимость Re определяют согласно выражению (25.5а) как

Излучение, не подчиняющееся закону Кирхгофа, не является тепловым.

Согласно экспериментальному закону Стефана – Больцмана (1884), энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры:

где σ = 5,67 · 10–8 Вт/(м2 · К4) – постоянная Стефана – Больцмана.

В. Вином была предложена эмпирическая формула для спектральной плотности равновесного излучения. Согласно закону излучения Вина (1896) зависимость универсальной функции Кирхгофа от частоты света и термодинамической температуры имеет вид

где а и b – постоянные, определяемые опытным путем.

Таким образом, из закона излучения Вина следует, что энергия излучения черного тела распределена по его спектру неравномерно. Кривая

52

симума в спектре его излучения описывается экспериментальным законом смещения Вина (1893): длина волны λmax , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости rλ,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре:

где b = 2,9 10−3 м · К – постоянная Вина. Из закона смещения Вина (25.9а) следует, что при возрастании температуры положение максимума функции rλ,T смещается в область коротких длин волн (рис. 25.3).

Применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы, Дж.У.С. Рэлей (1900) и Дж.Х. Джинс получили следующее выражение для зависимости спектральной плотности энергетической светимости rω,T черного тела от частоты света:

где ε = kT – средняя энергия осциллятора с собственной частотой ω; k – постоянная Больцмана. Уравнение (25.10) называется формулой Рэ-

лея – Джинса.

Формула Рэлея – Джинса согласуется с экспериментом только в области высоких температур и малых частот, которым соответствует длинноволновая область на рис. 25.3. Попытка получить закон Стефана – Больцмана из формулы (25.10) приводит к абсурдному результату – «ультрафиолетовой катастрофе»: rω,T неограниченно растет, достигая чрезвычайно больших значений в ультрафиолете (рис. 25.3). Интеграл (25.7) с rω,T из (25.10) расходится, в то время как по закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость Re при любой температуре конечна и пропорциональна четвертой степени температуры.

25.3. Квантовая гипотеза Планка

До сих пор нами рассматривались оптические явления с позиций волновой оптики, что не позволяло объяснить все экспериментальные факты. Вместе с тем эти явления получили объяснение в рамках квантовой теории света. В 1900 г. М. Планк предположил, что теория классического гармонического осциллятора неприменима к атомным (молекулярным) осцилляторам. Он доказал, что формулу для спектральной плотности энергии теплового излучения можно получить, если допустить противоречащую

53

классическим представлениям гипотезу: колебательная энергия атомов излучающего тела квантована.

Испускание и поглощение электромагнитного излучения осциллятором (атомом/молекулой вещества) осуществляется не непрерывно, а дискретно в виде отдельных квантов, величина которых пропорциональна частоте излучения (квант – от лат. quantum – порция, определенное количество).

Энергия кванта определяется как

где h = 2π = 6,626 10−34 Дж с – постоянная Планка – коэффициент пропорциональности между ε и ν; ν – частота колебаний (число полных колебаний за единицу времени); ω – циклическая или круговая частота колебаний ( ω = 2πν ). Величину =1,0546 10−34 Дж · с ( перечеркнутая) также называют постоянной Планка.

В результате открытия постоянной Планка и связанной с ней идеи квантования физику стали подразделять на классическую и квантовую.

Согласно гипотезе Планка энергия атомных (молекулярных) осцилляторов может принимать лишь определенные дискретные значения, крат-

Среднюю энергию осцилляторов ε нельзя принимать равной kТ, как в формуле Рэлея – Джинса (25.10). Согласно распределению Больцмана вероятность Pn того, что энергия колебания осциллятора частоты ω имеет значение εn при термодинамической температуре Т, определяется выражением

n

где Nn – число осцилляторов с энергией εn ; N – полное число осцилляторов; Т – термодинамическая температура; k – постоянная Больцмана.

Отсюда можно получить выражение для средней энергии осцилляторов

и на основе этого показать, что универсальная функция Кирхгофа rω,T будет иметь вид, определяемый формулой Планка:

54

Из формулы Планка (25.15) можно получить закон излучения Вина, выполняющийся в области больших частот (малые длины волн), когда ωkT >>1 . При этом в шкале частот спектральная плотность энергети-

ческой светимости черного тела

В области малых частот или больших длин волн ωkT <<1. Тогда

и формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джинса (25.10):

Закон Стефана – Больцмана (25.8) получается из формулы Планка (25.15) ее интегрированием по частотам:

∞

Re = ∫ rω,T dω = σT 4 < ∞,

0

2π5k4 π2k4

где постоянная Стефана – Больцмана σ = 15c2h3 = 60c2 3 .

Закон смещения Вина (25.9а) получается при анализе формулы Планка на экстремум. В результате можно получить

Tλmax = hc(4,956k) = b.

Таким образом, из формулы Планка можно вывести частные законы, описывающие тепловое излучение.

55

Рассмотрим еще одно явление, которое подтверждает справедливость квантовых представлений об электромагнитном излучении.

25.4.Фотоэффект. Формула Эйнштейна

В1905 г. Эйнштейн развил идею Планка и выдвинул гипотезу световых частиц – фотонов. Он предположил, что дискретный характер присущ не только процессам испускания и поглощения света, но и самому свету. Гипотеза Эйнштейна означала, что свет распространяется в виде квантов

энергии, позже названных фотонами. Энергия фотона определяется формулой ε = ω. Рассмотрим явление фотоэффекта, которое подтверждает гипотезу о фотонах.

Фотоэлектрический эффект (фотоэффект) – испускание электронов веществом при поглощении им квантов электромагнитного излучения (фотонов). Различают фотоэффект внутренний, вентильный и внешний.

Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется высвобождение электронов из вещества под действием света. Это явление открыто немецким физиком Г. Герцем в 1887 г., первые фундаментальные исследования выполнены русским физиком А.Г. Столетовым (1888).

Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке, схематически показанной на рис. 25.4. Два электрода (катод К (–) из исследуемого металла и анод А (+)), расположенные в вакуумной трубке,

56

При увеличении светового потока Ф, падающего на катод, при постоянной частоте ω света вольт-амперная характеристика фотоэффекта изменяется (рис. 25.5, а). На рис. 25.5, б приведены вольт-амперные характеристики для случаев, когда, не меняя светового потока, варьируется частота света ω, обусловливающего фотоэффект.

Рис. 25.5. Вольт-амперные характеристики фотоэффекта (задерживающее напряжение Uз отрицательно):

а – при постоянной частоте ω падающего света; б – при постоянном световом потоке Ф

Даже при напряжении, равном нулю, некоторое количество электронов достигает анода и создает небольшой фототок I0, поскольку фотоэлектроны при вылете из катода обладают некоторой кинетической энергией и, следовательно, некоторой начальной скоростью (рис. 25.5, а). С увеличением U все большее число электронов достигает анода – фототок возрастает до некоторого предела Iнас. При дальнейшем увеличении напряжения сила фототока остается неизменной.

Максимальное значение тока Iнас – фототока насыщения – определяется таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом под действием света, достигают анода: Iнас = en, где п – число электронов, испускаемых катодом в единицу времени. При малом напряжении вылетевшие из катода электроны частично летят к аноду, а частично возвращаются на катод.

Для того чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение Uз. При U = Uз ни один из электронов, даже обладающий при вылете максимальной начальной скоростью, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода.

Измерив задерживающее напряжение Uз, можно определить максимальное значение скорости vmax и кинетической энергии Kmax фотоэлектронов:

57

где Kmax – максимальная кинетическая энергия вылетающих из катода электронов; me – масса электрона; е – абсолютное значение заряда электрона.

Сформулируем три основных закона внешнего фотоэффекта.

1. Ток насыщения зависит от интенсивности падающего света: при постоянной частоте падающего света сила фототока насыщения пропорциональна падающему на катод световому потоку Ф (закон Столетова):

где κ – коэффициент, зависящий от природы материала катода (рис. 25.5, а).

2.При увеличении интенсивности падающего света число фотоэлек-

тронов возрастает, но их максимальная кинетическая энергия Kmax не изменяется, если частота света фиксирована. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно зависит от частоты ω падающего света.

3.Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта –

минимальная частота ω0 света (максимальная длина волны λ0 ), при которой еще происходит фотоэффект. При меньших частотах ω < ω0 фотоэффект не наблюдается даже при сравнительно большой интенсивности света. При высоких интенсивностях света (сфокусированное лазерное из-

лучение) в случае многофотонного фотоэффекта красная граница фотоэффекта исчезает. Величина ω0 (λ0 ) зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.

За работы по фотоэффекту, в которых были объяснены основные закономерности данного явления (1905), Эйнштейну в 1921 г. была присуждена Нобелевская премия.

Рассмотрим фотоэффект в рамках гипотезы о световых квантах Эйн-

штейна. Падающее монохроматическое излучение представим как поток световых квантов – фотонов, энергия ε которых связана с частотой ω соотношением (25.11). Фотоэффект возникает, когда происходит неупругое столкновение фотона с электроном конденсированной среды и энергия фотона целиком передается электрону. Такой процесс взаимодействия называется столкновением потому, что фотон может обмениваться с электроном энергией и импульсом. В результате электрон приобретает кинетическую энергию не постепенно, а очень быстро. Этим объясняется безынерционность фотоэффекта.

Энергия поглощаемого фотона расходуется электроном на то, чтобы достичь поверхности вещества и покинуть вещество, а также на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии. Минимальную энергию, необходимую для освобождения электрона из металла, т.е. для преодоления потенциального барьера, называют работой выхода А. Сле-

58

довательно, для электронов проводимости (не связаны с конкретными атомами) в металле закон сохранения энергии в элементарном акте поглощения фотона – формулу закона Эйнштейна для внешнего фотоэффекта – можно записать так:

Из уравнения (25.18) следует, что выполняется второй закон фотоэффекта: действительно, при увеличении частоты ω падающего света максимальная кинетическая энергия электронов линейно возрастает (рис. 25.6):

Фотоэлектрическое поглощение света свободными электронами, не находящимися в твердом теле или газе, невозможно: оно противоречит законам сохранения энергии и импульса.

Среди фотоэлементов с внешним фотоэффектом наиболее распространены вакуумные фотоэлементы. Преимущество фотоэлементов с внешним фотоэффектом по сравнению с другими системами автоматического регулирования – это их безынерционность. Фотоэлементы и фотосопротивления (фоторезисторы, фотореле) применяются в фотоэкспонометрах, люксметрах и устройствах управления и автоматизации различных процессов, пультах дистанционного управления, а также полупроводниковых фотоэлектронных умножителях и солнечных батареях. Широко используются фотоэлементы также в измерительной технике, автоматике, телемеханике, метрологии и т.д.

Исследования фотоэлектрического эффекта легли в основу фотоэлектронной спектроскопии – метода для локального, неразрушающего анализа тел, когда исследуется электронная структура заполненных состояний

59

на поверхности и приповерхностной области образцов. В зависимости от энергии фотонов, используемых для возбуждения электронов, фотоэлектронная спектроскопия подразделяется на два типа. Рентгеновское излучение с энергией фотонов от 100 эВ до 10 кэВ применяется в рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии. В ультрафиолетовой фотоэлектронной спектроскопии используются фотоны с энергиями от 10 до 50 эВ. Рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия позволяет получить информацию о химическом составе и природе химических связей, поэтому ее также часто называют электронной спектроскопией для химического анализа. Основатель метода К. Зиебан в 1981 г. получил Нобелевскую премию по физике за вклад в развитие высокоразрешающей электронной спектроскопии. Высокая поверхностная и элементная чувствительность делает методы фотоэлектронной спектроскопии незаменимыми для исследований в области физики конденсированного состояния и тонких пленок, в наноэлектронике и современных нанотехнологиях.

25.5. Коротковолновая граница тормозного рентгеновского спектра

Если энергия кванта ω значительно превышает работу выхода А, то уравнение Эйнштейна (25.18) принимает более простой вид:

Таким образом, энергия светового кванта переходит в кинетическую энергию электрона. Этот процесс называется прямым фотоэффектом. У большинства металлов работа выхода составляет 2–6 эВ. При λ0 в диапазоне от 600 до 200 нм красная граница фотоэффекта может лежать за пределами видимого спектра. Прямой фотоэффект хорошо вызывается ультрафиолетовым и рентгеновским излучением.

Согласно определению (25.16) Kmax = eU – энергия электрона, ускоренного разностью потенциалов U . Поэтому формулу (25.20) можно интерпретировать иначе: при резком торможении электронов в металле кинетическая энергия электронов переходит в энергию возникающих квантов. Именно такой процесс – обратный фотоэффект – происходит в рентгеновской трубке. Тогда

где eU – работа, совершенная при разгоне электрона силами ускоряющего электрического поля рентгеновской трубки.

Рентгеновская трубка представляет собой вакуумный баллон, в котором расположены напротив друг друга нагреваемый током источник тер-

60