1.6. Задачи динамики точки

В общем случае все задачи динамики точки подразделяют на прямые (первые) и обратные (вторые).

Суть первой задачи динамики точки заключается в следующем: известна масса m точки и её уравнения движения, требуется определить модуль и направление равнодействующей активных сил и реакций внешних связей, действующих на точку.

Вторая задача динамики заключается в следующем: зная силы, действующие на точку, её массу, а также начальное положение точки и её начальную скорость, требуется определить уравнения движения точки.

Первая и вторая задачи динамики решаются по соответствующим алгоритмам.

1.7. Алгоритм решения первых задач динамики точки в декартовой системе отсчёта

В первой задаче динамики известны уравнения движения точки: X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) и начальные условия этого движения. К начальным условиям движения точки отнесены: положение точки, характеризуемое координатами X₀, Y₀, Z₀ в момент времени t₀ = 0; проекции , , начальной скорости V₀ при t₀ = 0.

Алгоритм решения первых задач динамики предписывает чётко определённую последовательность действий исполнителя, которая приведена ниже.

1. Выбирают инерциальную систему отсчёта ОXYZ.

2. В системе отсчёта ОXYZ точку изображают в произвольный момент времени. При этом точка должна иметь координаты, значения которых больше нуля. Предполагают также, что точка движется в сторону возрастания координат ускоренно.

3. По исходным данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (X₀, Y₀, Z₀, , , ).

4. К точке прикладывают активные силы F_i^E и реакции R_i^E внешних связей.

5. Записывают соответствующие выбранной системе отсчёта ОXYZ дифференциальные уравнения движения:

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ ,

где , , – проекции ускорения a на координатные оси; Σ , Σ , Σ – суммы проекций активных сил F_i^E на соответствующие координатные оси ИСО; Σ , Σ , Σ – суммы проекций реакций R_i^E внешних связей на оси ИСО.

6. По заданным уравнениям движения X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) определяют проекции , , ускорения a точки на координатные оси.

7. Найденные проекции , , ускорения подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

8. Определяют проекции P_OX, P_OY, P_OZ равнодействующей активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей на координатные оси:

P_OX = m· = Σ + Σ ;

P_OY = m· = Σ + Σ ;

P_OZ = m· = Σ + Σ .

9. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей, действующих на точку:

.

10. Для ориентации вектора Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей в пространстве определяют направляющие косинусы:

cos(P, i) = P_OX/P; cos(P, j) = P_OY/P; cos(P, k) = P_OZ/P.

11. По величине значений направляющих косинусов находят величины углов, составленных направлениями координатных осей системы отсчёта и направлением силы Р.

12. Равнодействующую Р активных сил F_i^Е и реакций R_i^Е внешних связей, действующих на точку, изображают на чертеже. Необходимо еще раз отметить, что ускорение a точки направлено так же, как и сила Р.