5.5.2. Кинетическая энергия механической системы

В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек.

1. Механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения.

2. Механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.).

Каждый из этих случаев преобразования механического движения имеет свои измерители как механического движения, так и действия силы.

Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки K = m·V или механической системы K = m·V_С. Мерой действия силы в этом случае является вектор S импульса силы.

Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы.

Кинетическая энергия материальной точки – скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости движения.

Кинетическую энергию Т точки определяют по формуле

T = m·V²/2.

Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.

Р

Рис. 5.26

ассмотрим движение неизменяемой механической системы в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.26).

На рис. 5.26 использованы следующие обозначения: m_Ci, V_Ci – соответственно масса и скорость центра масс i-й точки механической системы; m, V_C – масса и скорость центра масс механической системы.

Кинетическая энергия системы – величина, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек механической системы.

Кинетическую энергию механической системы Т_S определяют по формуле

Т_S = Σ Т_i,

где Т_i – кинетическая энергия i-й точки механической системы.

Тела, входящие в механическую систему, осуществляют следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное. Определим кинетические энергии тел, находящихся в этих движениях.

Рассмотрим поступательное движение твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.27).

Кинетическую энергию тела при таком движении определяют по формуле

T = m·(V_C)²/2,

где V_C – скорость центра С масс тела.

Кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего поступательное движение, равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

П

Рис. 5.27

ри вращательных движениях тел (рис. 5.28) относительно различных осей (OX, OY, ОZ) кинетическую энергию определяют по формулам:

T = J_OX· /2; T = J_OY· /2; T = J_OZ· /2,

где J_OX, J_OY, J_OZ – соответственно моменты инерции относительно осей вращения OX, OY, OZ; – угловая скорость вращения тела.

Рис. 5.28

Кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего вращательное движение, равна половине произведения его момента инерции относительно соответствующей оси на квадрат угловой скорости.

К

Рис. 5.29

ак известно из кинематики, плоскопараллельное движение состоит из двух простейших движений: 1 – поступательное движение со скоростью V_С центра масс в неподвижной (инерциальной) системе отсчёта OXY; 2 – вращательное движение с угловой скоростью относительно подвижной оси CZ₁ вращения, проходящей через центр масс (рис. 5.29).

Исходя из изложенного, кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении определяют по формуле

T = m·(V_C)²/2 + J_CZ1· /2,

где J_CZ1 – момент инерции тела относительно оси CZ₁, проходящей через его центр масс.

Зависимость между изменением кинетической энергии неизменяемой механической системы и работой приложенных к её точкам сил на некотором перемещении определяется формулой

Т_Sk – Т_Sn = Σ = ΣА(F_i^E) + ΣA(R_i^E),

где Т_Sk – кинетическая энергия механической системы в конечном положении;Т_Sn – кинетическая энергия механической системы в исходном положении; Σ – сумма работ внешних сил (активных сил и реакций внешних связей) на перемещении механической системы из начального положения в конечное положение; ΣА(F_i^E) – сумма работ активных сил на перемещении механической системы; ΣA(R_i^E) – сумма работ реакций внешних связей на перемещении механической системы.

Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

Изменение кинетической энергии неизменяемой механической системы на некотором перемещении равно сумме работ активных сил и реакций внешних связей, приложенных к системе, на этом же перемещении.

Для закрепления изложенного теоретического материала учебным планом рекомендуется выполнить курсовое задание Д 4.