2.5. Апериодическое движение точки

Рассмотрим второй вариант движения точки, при котором n = k. В таком варианте движение точки теряет колебательный характер и становится апериодическим. В этом случае общее решение дифференциального уравнения

+ 2n· + k²·Y = 0

имеет вид

Y = (e^-nt)·(C₁·t + C₂),

где С₁, С₂ – постоянные интегрирования, которые находятся по начальным условиям движения точки. Пусть при t₀ = 0 точка имеет координату Y₀ и проекцию скорости V₀ на ось ОY. С использование начальных условий уравнение апериодического движения точки имеет вид

Y = (e^-nt)·(Y₀+( + n·Y₀)·t).

В зависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из движений, графики которых показаны на рис. 2.6 – 2.8. Эти графики соответствуют начальному отклонению точки от положения статического равновесия на величину > 0.

На рис. 2.6 показан график движения точки с начальной скоростью V₀, имеющей направление, совпадающее с направлением положительного отсчета координаты Y. Начальные условия этого движения изображены на рис. 2.4.

Так как проекция > 0, то точка сначала удаляется от положения статического равновесия, а затем под действием восстанавливающей силы постепенно приближается к этому положению.

Графики (см. рис. 2.7 и 2.8) соответствуют движению точки с начальной скоростью V₀, направленной противоположно направлению отсчета координаты Y, т. е. имеем: Y₀ > 0; < 0.

П

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Рис. 2.8

ри достаточно большом значении начальной скорости V₀ точка может совершить один переход через положение статического равновесия и затем при обратном движении приближаться к этому положению (см. рис. 2.7).

При начальных условиях (Y₀ > 0; = 0) график функции Y = f(t) имеет вид, приведенный на рис. 2.8.

Рассмотрим вариант движения точки, при котором n > k. При таком варианте точка совершает апериодическое движение, описываемое уравнением

Y = (e^-nt)·(C₁· ^)·t + C₂· ^)·t),

где С₁, С₂ – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Графики движения точки в этом случае по существу не отличаются от графиков, приведенных на рис. 2.6 – 2.8.

Таким образом, если n = k или n > k, то точка совершает апериодическое движение. Такое движение называют также движением точки с большим сопротивлением внешней среды.

2.6. Вынужденные колебания материальной точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы

Практически наиболее важным является случай, при котором возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону, т. е. проекцию Q_OY этой силы на ось ОY определяют по закону

Q_OY = H·sin(p·t + δ),

где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей силы; р – частота возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с; p·t + δ – фаза возмущающей силы; δ – начальная фаза возмущающей силы.

Период τ изменения возмущающей силы определяют по его частоте:

τ = 2π/р.

Рассмотрим движение материальной точки на гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону (рис. 2.9).

Начало системы отсчёта ОY поместим в положение статического равновесия материальной точки, соответствующее недеформированной пружине.

Основное уравнение динамики точки для рассматриваемого положения имеет вид

m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е = G + Q + N + F_yn,

где G – сила тяжести; Q – возмущающая сила; N, F_yn – соответственно реакция гладкой поверхности и реакция растянутой пружины.

Рис. 2.9

Следует отметить, что силы G и Q относятся к разряду активных сил, а силы N и F_yn отнесены к реакциям связей. Так как силы G и N не влияют на горизонтальное движение точки, то они на рис. 2.9 не показаны.

Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:

m· = Σ + Σ = H·sin(p·t + δ) – c·Y.

Это уравнение приведём к виду

+ (c/m)·Y = (H/m)·sin(p·t + δ),

где c/m = k² – квадрат частоты свободных колебаний.

Введём условное обозначение h = H/m [м/с²]. Тогда

+ k²·Y = h·sin(p·t + δ).

Последнее выражение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Общее решение этого уравнения складывается из общего решения Y^* дифференциального уравнения + k²·Y = 0 и частного решения Y^** дифференциального уравнения + k²·Y = h·sin(p·t + δ).

Y = Y^* + Y^**;

Y^*= C₁·cos(k·t) + C₂·sin(k·t) = A·sin(k·t + β);

Y^** = (h/(k² – p²))·sin(p·t + δ).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний материальной точки приводится к виду

Y = C₁·cos(k·t) + C₂·sin(k·t) + (h/(k² – p²))·sin(p·t + δ)

или к виду

Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k² – p²))·sin(p·t + δ),

где С₁, С₂, А, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения точки.

Последнее уравнение показывает, что точка совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член этого уравнения определяет свободные колебания, а второй – вынужденные колебания точки.

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающих сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний.

Следует отметить, что Y^** не содержит постоянных интегрирования и, следовательно, вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения.

Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний (р < k), называют вынужденными колебаниями малой частоты.

Если р > k, то эти колебания называют вынужденными колебаниями большой частоты.

При вынужденных колебаниях малой частоты (р < k) эти колебания выражаются зависимостью

Y^** = (h/(k² – p²))·sin(p·t + δ).

В этом случае фаза колебаний (p·t + δ) совпадает с фазой возмущающей силы и, следовательно, материальная точка всегда отклонена от положения статического равновесия в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила Q (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Амплитуду А_в вынужденных колебаний определяют по формуле

А_в = h/(k² – p²).

При вынужденных колебаниях большой частоты (р > k) эти колебания выражаются зависимостью

Y^** = (h/(р² – k²))·sin(p·t + δ – π).

В этом случае амплитуду А_в вынужденных колебаний находят по формуле

А_в = h/(р² – k²).

Ф

Рис. 2.11

аза вынужденных колебаний большой частоты (p·t + δ – π) отличается от фазы возмущающей силы (p·t + δ) на величину π, т. е. фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы противоположны. Это означает, что отклонение точки от начала координат О всегда противоположно направлению возмущающей силы Q в данный момент (рис. 2.11).

Необходимо отметить, что при вынужденных колебаниях и малой (р < k) и большой частотах (р > k) максимальное отклонение точки от начала координат происходит в момент времени, когда модуль Q возмущающей силы Q достигает максимального значения Н (Q_max = H).

В общем случае уравнения движения точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей и возмущающей сил записывают в следующем виде:

если р < k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k² – p²))·sin(p·t + δ);

если р > k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(р² – k²))·sin(p·t + δ – π).

На рис. 2.12 приведены общие виды графиков зависимостей Y^* = f₁(t), Y^** = f₂(t), Y = f₃(t) для случая, когда р > k, и начальных условий Y₀ > 0; > 0.

При определении величины амплитуды вынужденных колебаний А_в зачастую используют коэффициент динамичности η. Для этого вводят статическое отклонение Δ₀ точки от положения статического равновесия (рис. 2.13) под действием постоянной силы Н, модуль H которой равен амплитуде возмущающей силы Q:

H = Q_max.

Модуль силы F_yn пружины при действии на последнюю постоянной силы Н определяют по формуле

F_yn = с·Δ₀,

где Δ₀ – деформация пружины.

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Из условия равенства модулей сил F_yn и Н имеем:

Н = F_yn = с·Δ₀.

Из последнего выражения определим деформацию пружины:

Δ₀ = H/c = (H/m)/(c/m) = h/k².

Отношение амплитуды вынужденных колебаний А_в к величине Δ₀ деформации пружины при действии на неё постоянной силы Н называют коэффициентом динамичности η.

При р < k η = А_в/ Δ₀ = 1/(1 – p²/k²).

При р > k η = А_в/ Δ₀ = 1/(p²/k² – 1).

Зная величину коэффициента динамичности η и деформацию пружины Δ₀, нетрудно определить амплитуду вынужденных колебаний:

А_в = η·Δ₀.

Н

Рис. 2.14

а рис. 2.14 приведен общий вид графика зависимости η = f(p/k).

Анализ этого графика показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от р = 0 до р = k коэффициент динамичности η возрастает от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля.

При р = k коэффициент динамичности η равен бесконечности. Этот случай вынужденных колебаний называют явлением резонанса.

Общее решение дифференциального уравнения

+ k²·Y = h·sin(p·t + δ) = 0

в условиях резонанса имеет вид:

Y = Y^*+ Y^** = A·sin(k·t + β) + (h/2k)·t·sin(k·t + δ – π/2).

При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний точки (p ≈ k), наступает явление, называемое биениями. Уравнение биений имеет следующий вид:

Y = (2h/(k² – p²))·(sin((p – k)/2)·t)·cos(p·t + δ).

Поскольку студенты не выполняют курсовых заданий на резонанс и биения, то эти явления подробно в данном учебно-методическом пособии не излагаются. Они даны для общего ознакомления.