3.2. Частные случаи относительного движения материальной точки

Случай 1.

Переносное движение – неравномерное вращение тела вокруг неподвижной оси, относительное движение – прямолинейное (рис. 3.4).

В этом случае переносное ускорение a_e равно геометрической сумме центростремительного и вращательного ускорений:

a_e = ,

где , – соответственно центростремительное и вращательное переносные ускорения.

В соответствии с этим имеем

Ф_е = – m·a_e = – m·( ) = – m· – m· = + ,

где = – m· – центробежная переносная сила инерции; = – m· – вращательная переносная сила инерции.

Для рассматриваемого случая модули переносных центробежной и вращательной сил инерции находят по формулам:

= m·(ω_e)²·Х;

= m·ε_е·Х,

г

Рис. 3.4

де ω_е = I I, ε_е = I I – соответственно модули угловой скорости и углового ускорения переносного вращения.

Основное уравнение динамики и дифференциальные уравнения относительного движения точки в этом случае описываются следующими выражениями:

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е + + + Ф_с;

m· = Σ + Σ + + + ;

m· = Σ + Σ + + + ;

m· = Σ + Σ + + + .

Случай 2.

Переносное движение – равномерное вращение ( = const) вокруг неподвижной оси, относительное движение – прямолинейное (рис. 3.5).

В этом случае угловое ускорение переносного вращения = 0 и, следовательно, переносная вращательная сила инерции = 0.

Рис. 3.5

Тогда основное уравнение динамики и дифференциальные уравнения относительного движения точки описываются выражениями:

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е + + Ф_с;

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + .

Случай 3.

Переносное движение – поступательное неравномерное криволинейное движение, относительное движение – прямолинейное (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Согласно рис. 3.6 механизм содержит кривошипы 1, 2 и прямоугольную пластину 3, по которой перемещается материальная точка по закону Х = f(t). При этом О₁А = О₂В. Кривошипы 1, 2 совершают вращательные движения с угловыми скоростями , . Пластина 3 совершает поступательное движение. Так как О₁А = О₂В, то: φ₁ = φ₂; = , = .

Исходя из этого, имеем: ω₃ = ω_е = 0 = const; ε₃ = ε_e = 0, где ω₃ – модуль угловой скорости тела 3; ω_е – модуль угловой скорости переносного вращения.

Поскольку кориолисова сила Ф_с = 0, то основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е + Ф_е,

где Ф_е = – m·a_e – переносная сила инерции.

Так как переносное движение является поступательным, то его ускорение a_e равно ускорению точки А тела 3. С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу О₁А, совершающему вращательное неравномерное движение (ω₁ ≠ 0; ε₁ ≠ 0). Тогда

a_e = a_А = = = ,

где , – соответственно центростремительное и вращательное ускорения точки А кривошипа О₁А; , – нормальное и касательное ускорения точки А тела 3; , – соответственно нормальное и касательное переносные ускорения.

Отсюда вытекает очевидные равенства:

= = (ω₁)²·r; = = ε₁·r;

= – m· ; = – m· ,

где , – переносные нормальная и касательная силы инерции.

С учетом того, что Ф_е = + , имеем:

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е + + ;

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + .

Случай 4.

Переносное движение – поступательное прямолинейное и равномерное. В этом случае имеем: ω_е = 0; a_e = 0 и, следовательно, Ф_с = 0, Ф_е = 0. Тогда основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е.

Это уравнение не отличается от основного уравнения динамики материальной точки в инерциальной системе отсчёта, которое имеет вид

m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е.