5.4.5. Динамика общего случая движения твёрдого тела

В теоретической механике движение свободного тела в пространстве рассматривают как сложное, состоящее из поступательного движения со скоростью некоторой точки тела, принятой за полюс, и сферического движения вокруг этого полюса. Как правило, за полюс принимают центр С масс твёрдого тела (рис. 5.20).

Примем центр С масс за полюс и поместим в него начала двух подвижных систем отсчёта СXYZ, O₂X₂Y₂Z₂. Координатные оси CX, CY, CZ направляют по главным центральным осям инерции тела. При этом система отсчёта OXYZ неподвижно закреплена на теле, а система отсчёта O₂X₂Y₂Z₂ совершает поступательное движение таким образом, что её координатные оси параллельны координатным осям неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

Плоскости OXY, O₂X₂Y₂ подвижных систем отсчёта пересекаются по линии OL. Введением единичного вектора р эту линию преобразуют в ось узлов.

На рис. 5.20 показаны углы Ψ, φ, θ, величины которых зависят от времени. Эти углы называют эйлеровыми углами.

Таким образом, свободное движение тела определяется шестью уравнениями движения свободного твёрдого тела.

X_1С = f₁(t); Y_1С = f₂(t); Z_1С = f₃(t);

Ψ = f₄(t); φ = f₅(t); θ = f₆(t),

где X_1С, Y_1С, Z_1С – координаты центра масс тела в неподвижной системе отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

Рис. 5.20

Свободное движение твёрдого тела осуществляется под действием активных сил и реакций внутренних связей. Известно,, что для абсолютно твёрдого тела геометрическая сумма реакций внутренних связей равна нулю ( = 0). Исходя из этого утверждения, дифференциальные уравнения поступательной части свободного движения твёрдого тела имеют вид:

m· = Σ ; (1)

m· = Σ ; (2)

m· = Σ , (3)

где m – масса тела, , , – проекции ускорения центра С масс тела на координатные оси системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁, Σ , Σ , Σ – суммы проекций активных сил на координатные оси O₁X₁, O₁Y₁, O₁Z₁.

Сферическая часть движения твёрдого тела относительно центра масс описывается тремя дифференциальными уравнениями:

J_CX· ( ·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) +

+ ( ·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))·( ·cos(θ) + )·(J_CZ – J_CY) =

= Σ M_CX( ); (4)

J_CY· ( ·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ)) +

+ ( ·cos(θ) + )·( ·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) (J_CX – J_CZ) =

= Σ M_CY( ); (5)

J_CZ· ( ·cos(θ) + ) +

+ ( ·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ))·( ·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))

·(J_CY – J_CX) = Σ M_CZ( ), (6)

где J_CX, J_CY, J_CZ – моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции; – угловая скорость прецессии; – угловая скорость нутации; – угловая скорость собственного вращения; Σ M_CX( ),Σ M_CY( ),Σ M_CZ( ) – суммы моментов активных сил относительно главных центральных осей.

Интегрирование дифференциальных уравнений (1) – (6) представляет большие трудности, поэтому для студентов заочной и дистанционной форм обучения выполнение курсовых заданий на свободное движение тела не предусмотрено.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Записать дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела в пространстве.

2. Записать дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно вертикальной оси.

3. Записать дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела в системе отсчёта OXY.