5.4.4. Динамика сферического движения твёрдого тела
Рассмотрим движение тела, одна из точек которого во всё время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение называют сферическим движением твёрдого тела.
Сферическое движение твёрдого тела – движение, при котором скорость одной точки тела равна нулю, а остальные точки движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с этой неподвижной точкой.
Примером сферического движения тела служит движение волчка, имеющего неподвижную точку О1 (рис. 5.19).
Для определения положения тела в каждый момент времени используют две системы отсчёта: неподвижная система отсчёта O1X1Y1Z1 и подвижная система отсчёта OXYZ, которая жёстко закреплена на теле. При этом начало отсчёта ПСО совпадает с началом отсчёта НСО.
На рис. 5.19 стрелками показаны положительные направления отсчёта углов Ψ, θ и φ. Рассмотрим подробнее порядок отсчёта этих углов. Плоскость OXY подвижной системы отсчёта OXYZ пересекается с плоскостью O1X1Y1 неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1 по линии O1L. Эту линию называют осью узлов. Введём единичный вектор р, направленный от точки О1 к точке L оси узлов. Единичные векторы i1, p лежат в горизонтальной плоскости O1X1Y1 и образуют угол Ψ, величина которого зависит от времени. Ψ = f1(t). Положительное направление отсчёта угла Ψ определяют по правилу: смотря навстречу вектору k1, поворот вектора i1 к вектору р должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.
Рис. 5.19
Единичные векторы k1, k образуют плоскость, в которой находится угол θ, который также зависит от времени. θ = f2(t). Положительное направление отсчёта угла θ определяют по правилу: смотря навстречу вектору i, поворот вектора k1, к вектору k должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.
Единичные векторы р, i образуют плоскость, в которой лежит угол φ, величина которого зависти от времени. φ = f3(t). Правило положительного направления отсчёта угла φ: смотря навстречу вектору j, поворот вектора р к вектору i должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.
Углы Ψ, θ, φ называют также эйлеровыми углами:
угол Ψ – угол прецессии;
угол θ – угол нутации;
угол φ – угол собственного вращения.
Так как положение тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами, то оно имеет три степени свободы.
Таким образом, сферическое движение тела описывается тремя уравнениями движения:
Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).
На
твёрдое тело, совершающее сферическое
движение, действуют активные силы
,
реакция опоры
и внутренние силы
.
Следует отметить, что активные силы
и реакцию опоры
относятся к разряду внешних сил. При
этом моменты реакции
относительно координатных осей ОХ, OY,
OZ
системы отсчета OXYZ
равны нулю.
Для абсолютно твёрдого тела геометрическая сумма реакций внутренних связей всегда равна нулю ( = 0). Исходя из этого утверждения, дифференциальные уравнения сферического движения твёрдого тела имеют вид:
JОX·
(
·sin(θ)·sin(φ)
+
·cos(φ))
+
+ ( ·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))·( ·cos(θ) + )·(JОZ – JОY) =
= Σ MОX( ); (1)
JОY· ( ·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ)) +
+ ( ·cos(θ) + )·( ·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) (JОX – JОZ) =
= Σ MОY( ); (2)
JОZ· ( ·cos(θ) + ) +
+ ( ·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ))·( ·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))
·(JОY – JОX) = Σ MОZ( ), (3)
где JОX, JОY, JОZ – моменты инерции тела относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ системы отсчёта OXYZ; – угловая скорость прецессии; – угловая скорость нутации; – угловая скорость собственного вращения; Σ MOX( ), Σ MOY( ),Σ MOZ( ) – суммы моментов активных сил относительно координатных осей OX, OY, OZ системы отсчёта OXYZ.
Дифференциальные уравнения сферического движения твёрдого тела называют динамическими уравнениями Эйлера.
Целью решения дифференциальных уравнений сферического движения твёрдого тела является получение зависимостей:
Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).
Интегрирование динамических уравнений Эйлера связано с большими трудностями, поэтому выполнение студентами курсовых заданий на эту тему не предусмотрено.