5.3.6. Пример выполнения курсового задания д 3

Условие задания.

Т

Рис. 5.12

ело Н массой m₁ вращается вокруг вертикальной оси O₁Z₁ с постоянной угловой скоростью (рис. 5.12).

В точке О жёлоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К массой m₂ (на рис. 5.12 точки О и К не показаны). В некоторый момент времени (t₀ = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом M_OZ = M_OZ(t). При t = τ действие пары сил прекращается.

Определить значение угловой скорости тела Н в момент времени t = τ ( (τ) = ?).

Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью (τ).

В некоторый момент времени (t₁ = 0, где t₁ – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от точки А к точке В) по закону ОК = S = S(t₁).

Определить значение угловой скорости тела Н в момент времени t₁ = T ( (T) = ?).

Тело Н рассматривать как однородную пластинку.

Дано: m₁ = 20 кг; m₂ = 5 кг; = 5 рад/с = const; b = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; M_OZ = – 6,3· Н·м; τ = 4 с; OK = S(t₁) = (5·π·R/6)·t₁ м; Т = 1с.

Решение.

К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

dL_O1Z1/dt = ΣM_O1Z1( ) + ΣM_O1Z1( ),

где L_O1Z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣM_O1Z1( ), ΣM_O1Z1( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Решение задачи разобьём на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении; на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на третьем этапе – движение механической системы в момент времени Т.

Первый этап.

В исходном положении тело Н (тело 1 массой m₁), на котором неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено тело 2 (самоходный механизм массой m₂), вращается с постоянной угловой скоростью (см. рис. 5.12).

Введём неподвижную (инерциальную) систему отсчёта O₁X₁Y₁Z₁, совместив ось O₁Z₁ с осью вращения тела 1. Покажем на рис. 5.13 направление вращения тела 1 с произвольной угловой скоростью .

Внимание!

Независимо от знака начальной угловой скорости направление вращения тела 1 на рис. 5.13 рекомендуется показывать против хода часовой стрелки. Это позволит решать задачу в общем виде для любого направления вращения тела 1. Частные решения будут получены при подстановке в общее решение исходных данных задачи.

Определим положение центра С₂ масс тела 2 (материальная точка К) на теле 1. Поскольку АО = 0, то точки А, О и С₂ совпадают. Центр масс тела 2 описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости. Центр этой окружности находится на оси вращения. Покажем на рис. 5.13 траекторию движения этого центра масс, а также векторы абсолютной скорости V_С2 и количества движения m₂·V_С2. Эти векторы приложены в точке С₂ и направлены противоположно направлению координатной оси O₁X₁.

Рис. 5.13

Определим кинетический момент L_O1Z1 механической системы относительно оси вращения O₁Z₁ по формуле

L_O1Z1 = L_O1Z1(1) + L_O1Z1(2),

где L_O1Z1(1), L_O1Z1(2) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения O₁Z₁.

Кинетический момент L_O1Z1(1) тела 1, совершающего вращательное движение относительно оси O₁Z₁, вычисляют по формуле

L_O1Z1(1) = J_O1Z1(1)· ,

где J_O1Z1(1) – момент инерции тела 1 относительно оси вращения.

Поскольку по условию задания тело 1 – однородная прямоугольная пластина, то имеем J_O1Z1(1) = m₁·b²/3 (см. табл. 4.1). Тогда

L_O1Z1(1) = (m₁·b²/3)· = (20·0,6²/3)· = 2,4· .

Кинетический момент L_O1Z1(2) тела 2 относительно оси вращения O₁Z₁ равен моменту количества движения m₂·V_C2 этого тела относительно той же оси.

L_O1Z1(2) = (m₂·V_C2)·b = (m₂·( ·b))·b = m₂·b²· = 5·0,6²· = 1,8· .

Поскольку кинетические моменты тел механической системы определены, то кинетический момент L_O1Z1 системы равен

L_O1Z1 = L_O1Z1(1) + L_O1Z1(2) = 2,4· + 1,8· = 4,2· .

Таким образом, формула для определения кинетического момента L_O1Z1 механической системы в её исходном положении получена.

Второй этап.

Р

Рис. 5.14

ассмотрим движение механической системы под действием активных нагрузок и реакций внешних связей (рис. 5.14).

Согласно рис. 5.14 на механическую систему действуют внешние нагрузки: активные силы G₁, G₂ (силы тяжести тел системы); активный момент M_OZ(t), зависящий от времени; реакции X_O1, Y_O1, Z_O1 в точке О₁ подпятника и реакции X_D, Y_D цилиндрического шарнира в точке D.

Внимание!

Независимо от знака момента M_OZ(t), заданного в исходных данных задачи, на рис. 5.14 направление этого момента рекомендуется показывать против хода часовой стрелки. Это позволяет решать задачу в общем виде и получать частные решения при любых исходных данных.

Так как активный момент M_OZ(t) зависит от времени, то очевидно, что при его действии на механическую систему будет изменяться её угловая скорость .

В принятых условных обозначениях теорема об изменении кинетического момента механической системы записывается в виде

dL_O1Z1/dt = ΣM_O1Z1( ) + ΣM_O1Z1( ).

Определим производную по времени от кинетического момента механической системы относительно оси вращения.

dL_O1Z1/dt = d(4,2· )/dt = 4,2·d /dt.

Сумма моментов активных нагрузок, приложенных к механической системе, относительно оси вращения равна

ΣM_O1Z1( ) = M_OZ(t) = – 6,3· .

Сумма моментов реакций внешних связей относительно оси вращения равна нулю (ΣM_O1Z1( ) = 0).

В этих условиях теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения приобретает вид дифференциального уравнения:

4,2·d /dt = – 6,3· = – 6,3·t^0,5.

Проинтегрируем это уравнение и решим его:

= – 1,5 ;

( – = – 1,5(τ^0,5+1/1,5) = – τ^0,5+1 = – ;

( = – = 5 – = 5 – 8 = – 3 рад/с.

Таким образом, при приложении активного момента M_OZ = – 6,3· к механической системе её угловая скорость за промежуток времени τ = 4 с изменится с начального значения = 5 рад/с до значения ( = – 3 рад/с.

Ответ на один из вопросов ( ( = ?) курсового задания получен.

Третий этап.

Рассмотрим движение механической системы в момент времени Т, когда на неё действуют только активные силы G₁, G₂ (силы тяжести тел системы); реакции X_O1, Y_O1, Z_O1 в точке О₁ подпятника и реакции X_D, Y_D цилиндрического шарнира в точке D (рис. 5.15).

Рис. 5.15

Поскольку материальная точка К совершает сложное движение (перемещается по вращающемуся телу 1), то необходимо рассмотреть это движение в подвижной (ПСО) и неподвижной инерциальной (ИСО) системах отсчёта. Так как ПСО закреплена на теле 1, то она совершает вращательное движение.

Из курса кинематики известно, что абсолютная скорость точки в сложном движении равна

V = V_r + V_e,

где V_r – относительная скорость; V_e – переносная скорость.

Определим абсолютную скорость V_С2 точки К.

В нашем случае траектория относительного движения точки – траектория её движения по телу 1. Такой траекторией является дуга АВ окружности радиусом R. По условию задания уравнение относительного движения точки (OK = (5·π·R/6)·t₁) известно. Зафиксируем положение точки К на траектории относительного движения в момент времени Т центральным углом α.

OK(T) = (5·π·R/6)·T = (5·π·R/6)·1 = (5·π·R/6).

α = OK(T)/R = (5·π·R/6)/R = 5·π/6 рад.

В градусной мере α = 150^о. На рис. 5.15 покажем траекторию переносного движения точки К. Эта траектория есть окружность, расположенная в горизонтальной плоскости. Центр окружности находится на оси вращения. Радиус окружности определим по формуле

r = b – R·sin(π – α) = b – b·sin(α) =

= b·(1 – sin(α)) = b·(1 – 0,5) = 0,5·b.

Абсолютную скорость V_С2 центра масс тела 2 (абсолютную скорость точки К) определим по формуле

V_С2 = V_С2r + V_С2e,

где V_С2r – относительная скорость; V_С2e – переносная скорость.

По заданному уравнению относительного движения (ОК = S = S(t₁)) определим проекцию V_С2r относительной скорости точки на касательную к траектории её движения.

V_С2r = dS/dt₁ = d((5·π·R/6)·t₁)/dt₁ = 5·π·R/6 = const > 0.

Поскольку dS/dt₁ > 0, то относительная скорость V_С2r направлена в сторону увеличения дуговой координаты ОК = S (см. рис. 5.15). Необходимо отметить, что вектор скорости V_С2r лежит в плоскости рисунка.

Модуль V_С2e переносной скорости V_С2e центра масс тела 2 определим по формуле

V_С2e = r·I (T)I = 0,5·b·I (T)I,

где I (T)I – модуль угловой скорости тела 1 в момент времени Т.

Вектор V_С2e переносной скорости направлен перпендикулярно плоскости рис. 5.15 (параллельно оси О₁Х₁).

Абсолютное количество движения m₂·V_С2 тела 2 находим по формуле

m₂·V_С2 = m₂·(V_С2r + V_С2e) = m₂·V_С2r + m₂·V_С2e,

где m₂·V_С2r, m₂·V_С2e – соответственно относительное и переносное количества движения.

Векторы m₂·V_С2r, m₂·V_С2e покажем на рис. 5.15.

Запишем теорему об изменении кинетического момента механической системы для рассматриваемого этапа расчета:

dL_O1Z1/dt₁ = ΣM_O1Z1( ) + ΣM_O1Z1( ).

Поскольку сумма моментов активных сил относительно оси O₁Z₁ вращения равна нулю (ΣM_O1Z1( ) = 0) и сумма моментов реакций внешних связей относительно той же оси также равна нулю (ΣM_O1Z1( ) = 0), то, следовательно, имеем dL_O1Z1/dt₁ = 0. Отсюда следует, что L_O1Z1 = const, т. е. при движении механической системы её кинетический момент относительно оси не изменяется. Имеет место случай сохранения кинетического момента механической системы относительно оси O₁Z₁ её вращения. Исходя из этого, справедливо утверждение

L_O1Z1(τ) = L_O1Z1(Т),

где L_O1Z1(τ), L_O1Z1(Т) – кинетические моменты механической системы в расчётные моменты времени τ и Т.

В начальный момент времени (t₁₀ = 0) имеем: угловая скорость прямоугольной пластины ( = – 3 рад/с; векторы количеств движения m₂·V_C2r, m₂·V_C2e направлены так, как это показано на рис. 5.15.

Кинетический момент L_O1Z1(t₁₀ = 0) механической системы в начальный момент времени определим по формуле

L_O1Z1(t₁₀ = 0) = 4,2· (.

Кинетический момент L_O1Z1(Т) механической системы в момент времени Т равен

L_O1Z1(Т) = L_O1Z1(1,T) + L_O1Z1(2,T),

где L_O1Z1(1,T), L_O1Z1(2,T) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения в момент времени Т.

L_O1Z1(1,T) = 2,4· (Т.

L_O1Z1(2,T) = m₂·V_С2e·r = (m₂·( (Т)·r))·r = m₂· (Т)·r² =

= m₂· (T)·(0,5·b)² = 5· (Т)·(0,5·0,6)² = 0,45· (Т).

Тогда

L_O1Z1(Т) = 2,4· (Т) + 0,45· (Т) = 2,85· (Т).

Так как кинетический момент механической системы относительно оси вращения постоянен, то

L_O1Z1(t₁₀ = 0) = 4,2 () = L_O1Z1(Т) = 2,85· (Т).

Отсюда

(Т) = (4,2 ())/2,85 = (4,2·(– 3))/2,85 = – 4,427 рад/с.

По сравнению с исходным положением расчёта третьего этапа, когда угловая скорость пластины была равна () = – 3 рад/с, в конце расчёта её угловая скорость уменьшилась до значения (Т) = – 4,427 рад/с. Модуль угловой скорости увеличился на 1,427 рад/с. Произошло это потому, что центр масс механической системы сместился к оси вращения. Очевидно, что угловая скорость пластины достигнет максимального значения в момент времени, когда точка К будет находиться на оси вращения.

Таким образом, ответ на другой вопрос ( (Т) = ?) курсового задания получен.