Следствия из теоремы о движении центра масс

1. Если геометрическая сумма активных сил и реакций внешних связей постоянно равна нулю (Σ + Σ = 0), то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Таким образом, если Σ + Σ = 0, то a_С = 0, т. е. V_С = const. Если начальная скорость V_С0 центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое. Если же V_С0 ≠ 0, то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью.

2. Если суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на какую-либо ось остаются всё время равными нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось неподвижна или движется равномерно.

Действительно, если Σ + Σ = 0, то = 0, т. е. = const. Если при этом в начальный момент времени = 0, то = 0, Х_С = const, т. е. координата Х_С центра масс остается постоянной.

Следствия из теоремы о движении центра масс выражают закон сохранения движения центра масс механической системы.

С помощью теоремы о движении центра масс механической системы решают задачи, в которых рассматривается только поступательная часть движения тел, образующих механическую систему.

Рекомендуется следующий алгоритм решения задач.

1. Выбирается система отсчёта.

2. К механической системе прикладываются все активные силы и реакции внешних связей.

3. Записывается теорема о движении центра масс (m·a_c = Σ + Σ = F^E + R^E) в проекциях на оси системы отсчёта:

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ .

4. Вычисляются суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на оси системы отсчёта и подставляются в последние выражения.

5. В зависимости от условий решается прямая либо обратная задача динамики.

Поскольку для заочной формы обучения курсовых заданий на использование теоремы о движении центра масс механической системы не предусмотрено, то примеры решения таких задач в данном учебно-методическом пособии не приведены.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать теорему о движении центра масс механической системы.

2. Записать векторную формулу, выражающую теорему о движении центра масс механической системы.

3. Записать дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы в декартовой системе отсчёта.

4. Сформулировать первое следствие из теоремы о движении центра масс механической системы.

5. Сформулировать второе следствие из теоремы о движении центра масс механической системы.

5.2. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и количества движения механической системы

5.2.1. Теорема об изменении количества движения

материальной точки

В этой теореме используются понятия «количество движения» и «импульс силы». Введём эти понятия.

Количество движения материальной точки – векторная мера механического движения, равная произведению массы точки на её скорость.

Р

Рис. 5.2

ассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.2).

Согласно определению вектор количества движения m·V имеет такое же направление, как и вектор скорости V точки. Количество движения m·V является векторной мерой механического движения. Количество движения имеет размерность [кг·м/с].

Р

Рис. 5.3

ассмотрим движение материальной точки под действием силы P_i в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.3).

В теоретической механике используют понятие «элементарный импульс силы».

Элементарный импульс силы – векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени её действия.

S_i = P_i ·Δt,

где S_i – элементарный импульс силы; P_i – сила; Δt – элементарный промежуток времени.

Равнодействующая системы сил, действующих на точку, определяется по формуле P = ΣP_i.

Если постоянная по модулю и направлению сила P_i действует на точку в течение промежутка времени Δt = t₂ – t₁, то элементарным импульсом силы за конечный промежуток времени является вектор

S_i = P_i·Δt = P_i·(t₂ – t₁).

Направление этого вектора совпадает с направлением силы, а его модуль равен произведению модуля силы на время её действия:

S_i = P_i·(t₂ – t₁).

В общем случае импульс S_i силы P_i за промежуток времени Δt = (t₂ – t₁) определяется векторным интегралом от вектора P_i по скалярному аргументу t:

S_i = .

Импульс силы за конечный промежуток времени – величина, равная определённому интегралу от элементарного импульса силы, где пределами интеграла являются моменты начала и конца данного промежутка времени.

Импульс равнодействующей Р нескольких сил P_i за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов соответствующих сил за этот же промежуток времени.

S = ΣS_i.

В проекциях на координатные оси имеем:

S_ОХ = ΣS_iОХ; S_OY = ΣS_iOY; S_OZ = ΣS_iOZ.

Проекция импульса равнодействующей на ось системы отсчета равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме выражается формулой

d(m·V)/dt = P.

Производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной (конечной) форме приобретает вид

m·V₂ – m·V₁ = ΣS_i,

где V₂, V₁ – скорости точки соответственно в конечный и начальный моменты времени.

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Эту теорему называют также теоремой импульсов.

Последнему векторному равенству соответствуют три уравнения в проекциях на оси системы отсчёта OXYZ:

m·V_2ОХ – m·V_1ОХ = ΣS_iОХ;

m·V_2OY – m·V_1OY = ΣS_iOY;

m·V_2OZ – m·V_1OZ = ΣS_iOZ,

где V_2ОХ, V_2OY, V_2OZ, V_1ОХ, V_1OY, V_1OZ – проекции конечной и начальной скоростей точки на координатные оси системы отсчёта

Изменение проекции количества движения материальной точки на координатную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций на ту же ось импульсов, приложенных к точке сил за тот же промежуток времени.

Большинство практических задач решается по уравнениям в проекциях на оси координат.